Контрольні запитання до третього розділу

1. Поняття $\delta$-функції Дірака, слабка збіжність.

2. Узагальнені функції, визначення, приклади, сингулярні та регулярні узагальнені функції.

3. Диференціювання узагальнених функцій, приклади обчислення похідних.

4. Поверхнева функція Дірака.

5. Використання узагальнених функцій для моделювання зосереджених факторів і розподілів.

6. Поняття носія та порядку узагальнених функцій.

7. Згортка та регуляризація узагальнених функцій.

8. Визначення фундаментального розв’язку основних диференціальних операторів.

9. Визначення функції Гріна основних крайових задач для еліптичного рівняння. Представлення розв’язку.

10. Визначення функції Гріна основних крайових задач для параболічного рівняння. Представлення розв’язку.

11. Визначення функції Гріна основних крайових задач для гіперболічного рівняння. Представлення розв’язку.

12. Задача Коші для рівняння теплопровідності, представлення розв’язку задачі Коші.

13. Задача Коші для рівняння коливання струни, представлення розв’язку, формула Даламбера.

14. Задача Коші для рівняння коливання мембрани, представлення розв’язку, формула Пуассона.

15. Фундаментальний розв’язок рівнянь Лапласа та Гельмгольца.

16. Фундаментальний розв’язок рівняння теплопровідності.

17. Фундаментальний розв’язок хвильового оператора для $\mathbb{R}^1$, $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$.

18. Визначення гармонічної функції та її приклади.

19. Регулярність на нескінченності, перетворення Кельвіна. Гармонічність в нескінченно віддаленій точці.

20. Оператор Лапласа в циліндричній та сферичній системах координат.

21. Інтегральне представлення функцій класу $C^2(\Omega)$ та гармонічних функцій.

22. Теорема про середнє значення гармонічної функції.

23. Принцип максимуму гармонічної функції, наслідки.

24. Теорема єдиності гармонійної функції із граничними умовами першого та другого роду.

25. Теорема єдиності гармонійної функції із граничними умовами третього роду.

26. Рівняння для функцій Бесселя дійсного аргументу, функції Бесселя першого та другого роду дійсного аргументу.

27. Властивості функцій Бесселя першого та другого роду дійсного аргументу.

28. Рівняння для функцій Бесселя уявного аргументу, функції Бесселя першого та другого роду уявного аргументу.

29. Властивості функцій Бесселя першого та другого роду уявного аргументу.

30. Методи побудови функції Гріна для оператора Лапласа, на прикладі задачі Діріхле для півпростору.

31. Методи побудови функції Гріна для оператора Лапласа, на прикладі задачі Неймана для півпростору.

32. Методи побудови функції Гріна для оператора Лапласа, на прикладі задачі Діріхле для кулі.

33. Функція Гріна першої та другої граничної задачі рівняння теплопровідності для півпрямої.

34. Джерела виникнення рівняння Гельмгольца.

35. Приклади неєдиності розв’язку внутрішньої граничних задач рівняння Гельмгольца, природа неєдиності.

36. Приклади неєдиності розв’язку зовнішньої граничних задач рівняння Гельмгольца, природа неєдиності, умови Зомерфельда.

37. Визначення потенціалів для оператора Лапласа та Гельмгольца.

38. Регулярність на нескінченності, перетворення Кельвіна.

39. Теорема про властивості перших похідних потенціалу об’єму, теорема.

40. Теорема про другі похідні потенціалу об’єму.

41. Поняття поверхні Ляпунова, теорема про існування сфери Ляпунова.

42. Локальна система координат для поверхні Ляпунова, оцінка $\cos(n(y), y - x)$.

43. Тілесний кут спостереження поверхні з точки простору, лема про обчислення тілесного кута.

44. Потенціал подвійного шару на поверхні Ляпунова, властивості прямого значення потенціалу подвійного шару.

45. Інтеграл Гауса, його значення в різних точках простору.

46. Теорема про граничні значення потенціалу подвійного шару.

47. Прямі значення нормальної похідної потенціалу.

48. Теорема про граничні значення правильної нормальної похідної потенціалу простого шару.

    Наступних питань поки що немає:

49. Інтегральні рівняння для внутрішньої задачі Діріхле та зовнішньої задачі Неймана рівняння Лапласа. Теореми існування розв’язку.

50. Інтегральні рівняння для зовнішньої задачі Діріхле та внутрішньої задачі Неймана рівняння Лапласа. Теореми існування розв’язку.

51. Граничні інтегральні рівняння для крайової задачі з граничними умовами третього роду.

52. Інтегральні рівняння для першої та другої граничних задач рівняння Гельмгольца.

53. Теорема про існування розв’язку граничних задач для рівняння Гельмгольца.

54. Теорема єдиності гармонічної функції для задачі Неймана у двовимірному просторі.

55. Граничні інтегральні рівняння для задач Діріхле та Неймана у двовимірному випадку.

56. Визначення основних теплових потенціалів.

57. Теорема про граничні значення теплового потенціалу подвійного шару.

58. Теорема про граничні значення нормальної похідної теплового потенціалу простого шару.

59. Інтегральні рівняння для основних граничних задач рівняння теплопровідності.