Контрольні запитання до леції №21

18. Визначення гармонічної функції та її приклади.

Функцію $u(x)$ називають гармонічною в деякій відкритій області $\Omega$, якщо $u \in C^{(2)}(\Omega)$ і $\Delta u(x) = 0$, $x \in \Omega$, тобто функція є двічі неперервно диференційованим розв’язком рівняння Лапласа.

Функцію $u(x)$ називають гармонічною в деякій точці, якщо ця функція гармонічна в деякому околі цієї точки.

Функцію $u(x)$ називають гармонічною в деякій замкненій області, якщо вона гармонічна в деякій більш широкій відкритій області.

З гармонічними функціями у тривимірних і двовимірних областях ми вже зустрічалися, а саме нам відомо, що

\begin{equation} \Delta \frac{1}{2 \pi} \ln \frac{1}{|x - \xi|} = 0, \quad x \ne \xi, \quad x, \xi \in \RR^2, \end{equation}

і

\begin{equation} \Delta \frac{1}{4 \pi |x - \xi|} = 0, \quad x \ne \xi, \quad x, \xi \in \RR^3. \end{equation}

21. Інтегральне представлення функцій класу $C^2(\Omega)$ та гармонічних функцій.

Для отримання інтегрального представлення функцій класу $C^2(\Omega)$ будемо використовувати другу формулу Гріна для оператора Лапласа:

\begin{equation} \begin{aligned} & \Iiint_\Omega ( v(x) \Delta u(x) - u(x) \Delta v(x) ) \diff x = \newline & \quad = \Iint_S \left( v(x) \cdot \frac{\partial u(x)}{\partial n} - u(x) \cdot \frac{\partial v(x)}{\partial n} \right) \diff S. \end{aligned} \end{equation}

В якості функції $u(\xi)$ оберемо довільну функцію $C^2(\Omega)$, а у якості $v$, фундаментальний розв’язок оператора Лапласа для тривимірного евклідового простору $\frac{1}{4 \pi \vert x - \xi \vert}$.

В результаті підстановки цих величин в останню формулу отримаємо

\begin{equation} \begin{aligned} & \Iiint_\Omega \left( \frac{1}{4 \pi |x - \xi|} \Delta u(\xi) - u(\xi) \delta (x - \xi) \right) \diff \xi = \newline &\quad = \Iint_S \left( \frac{1}{4 \pi |x - \xi|} \cdot \frac{\partial u(\xi)}{\partial n} - u(\xi) \cdot \frac{\partial}{\partial n} \frac{1}{4 \pi |x - \xi|} \right) \diff S_\xi. \end{aligned} \end{equation}

Після обчислення другого доданку в лівій частині можемо записати формулу інтегрального представлення функцій класу $C^2(\Omega)$.

\begin{equation} \begin{aligned} u(x) &= - \Iiint_\Omega \frac{1}{4 \pi |x - \xi|} \Delta u(\xi) \diff \xi + \newline &\quad + \Iint_S \left( \frac{1}{4 \pi |x - \xi|} \cdot \frac{\partial u(\xi)}{\partial n} - u(\xi) \cdot \frac{\partial n}{\partial n} \frac{1}{4 \pi |x - \xi|} \right) \diff S_\xi. \end{aligned} \end{equation}

У випадку коли функція $u(x)$ є гармонічною в області $\Omega$ то остання формула прийме вигляд:

\begin{equation} u(x) = \Iint_S \left( \frac{1}{4 \pi |x - \xi|} \cdot \frac{\partial u(\xi)}{\partial n} - u(\xi) \cdot \frac{\partial}{\partial n} \frac{1}{4 \pi |x - \xi|} \right) \diff S_\xi. \end{equation}

22. Теорема про середнє значення гармонічної функції.

Теорема (про середнє значення гармонічної функції). Якщо $u(x)$ — гармонічна функція в кулі і неперервна в замиканні цієї кулі, то значення гармонічної функції в центрі кулі дорівнює середньому арифметичному її значень на сфері, що обмежує кулю.

Доведення. Використаємо формулу

\begin{equation} u(x) = \Iint_S \left( \frac{1}{4 \pi |x - \xi|} \cdot \frac{\partial u(\xi)}{\partial n} - u(\xi) \cdot \frac{\partial}{\partial n} \frac{1}{4 \pi |x - \xi|} \right) \diff S_\xi. \end{equation}

в якій в якості поверхні $S$ візьмемо сферу радіусу $R$ з центром у точці $x_0$, і обчислимо значення функції $u$ в точці $x_0$:

\begin{equation} u(x_0) = \Iint_{S(x_0, R)} \left( \frac{1}{4 \pi |x_0 - \xi|} \cdot \frac{\partial u(\xi)}{\partial n} - u(\xi) \cdot \frac{\partial}{\partial n_\xi} \frac{1}{4 \pi |x_0 - \xi|} \right) \diff S_\xi. \end{equation}

Оскільки $\xi \in S(x_0, R)$, то $\frac{1}{4 \pi \vert x_0 - \xi \vert} = \frac{1}{4 \pi R}$, а

\begin{equation} \left. \frac{\partial}{\partial n_\xi} \frac{1}{4 \pi |x_0 - \xi|} \right|_{S(x_0, R)} = \frac{1}{4 \pi R^2}. \end{equation}

Таким чином

\begin{equation} u(x_0) = \frac{1}{4 \pi R} \Iint_{S(x_0, R)} \frac{\partial u(\xi)}{\partial n} \diff S_\xi + \frac{1}{4 \pi R^2} \Iint_{S(x_0, R)} u(\xi) \diff S_\xi. \end{equation}

Оскільки перший інтеграл дорівнює нулю, то остаточно маємо

\begin{equation} u(x_0) = \frac{1}{4 \pi R^2} \Iint_{S(x_0, R)} u(\xi) \diff S_\xi \end{equation}

32. Методи побудови функції Гріна для оператора Лапласа, на прикладі задачі Діріхле для кулі.

Будемо розглядати граничну задачу

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \Delta U(P) = 0, \quad |P| < R, \newline & \left. U(P) \right|_{|P| = R} = f(P). \end{aligned} \right. \end{equation}$$

Побудуємо функцію Гріна першої граничної задачі оператора Лапласа для кулі. Введемо позначення:

\begin{equation} | OP_0 | = r_0, \quad | OP_0’ | = r_0’, \quad r = | P - P_0 |, \quad r’ = | P - P_0’ |. \end{equation}

На довільному промені, який проxодить через центр кулі точку $O$ розмістимо всередині кулі у точці $P_0$ одиничний точковий додатний заряд. Розглянемо точку $P_0'$ симетричну точці відносно сфери.

Це означає, що обидві точки лежать на одному промені, а їx відстані від центру сфери задовольняють співвідношенню

\begin{equation} r_0 \cdot r_0’ = R^2. \end{equation}

В точці $P_0'$ розмістимо від’ємний заряд величини $e = R / r_0$.

Функцію Гріна задачі Діріxле для кулі можна записати:

\begin{equation} G_1 (P, P_0) = \frac{1}{4\pi} \left( 1 / \sqrt{\rho^2 + r_0^2 - 2 \rho r_0 \cos \gamma} - 1 / \sqrt{R^2 + \frac{\rho^2 r_0^2}{R^2} - 2 \rho r_0 \cos \gamma} \right). \end{equation}

Формула Пуассона для кулі дає розв’язок задачі Діріxле для рывняння Лапласа у такому вигляді:

\begin{equation} U(r_0, \phi_0, \theta_0) = \frac{R}{4 \pi} \Int_0^{2 \pi} \Int_0^\pi \frac{(R^2 - r_0^2) \sin \theta f(\phi, \theta) \diff \theta \diff \phi}{(R^2 + r_0^2 - 2 R r_0 \cos \gamma)^{3/2}}. \end{equation}

33. Функція Гріна першої та другої граничної задачі рівняння теплопровідності для півпрямої.

Ми покажемо, як за допомогою функції Гріна можна знайти розв’язок першої та другої граничних задач рівняння теплопровідності для напівпрямої $x > 0$. Нехай ми розглядаємо граничні задачі:

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & a^2 \cdot \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} - \frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = -f(x, t), \label{eq:4.20} \newline & u(0, t) = \varphi (t), \newline & u(x, 0) = u_0 (x), \end{aligned} \right. \end{equation}$$

і

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & a^2 \cdot \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} - \frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = -f(x, t), \label{eq:4.21} \newline & \frac{\partial u(0, t)}{\partial x} = \varphi (t), \newline & u(x, 0) = u_0 (x). \end{aligned} \right. \end{equation}$$

Для побудови функції Гріна використаємо фундаментальний розв’язок оператора теплопровідності в одновимірному евклідовому просторі. Як відомо від має вигляд:

$$\begin{equation} \varepsilon (x, t) = \frac{\theta(t)}{2 a \sqrt{\pi t}} \cdot \exp\left\{-\frac{|x|^2}{2a^2 t}\right\}. \end{equation}$$

Оскільки при побудові функції Гріна використовується фізична інтерпретація фундаментального розв’язку, то з’ясуємо її знайшовши розв’язок наступної задачі:

В нескінченому стрижні з теплоізольованою боковою поверхнею і нульовою початковою температурою в початковий момент часу в точці $x = 0$ миттєво виділилося $Q$ одиниць тепла. Необхідно визначити температуру стрижня в довільний момент часу в довільній його точці.

Фундаментальний розв’язок оператора теплопровідності представляє собою функцію, що моделює температуру стрижня в точці $x$ в момент часу $t$ за рахунок дії миттєвого точкового джерела інтенсивності $Q = c \rho S$, яке діє в початковий момент часу в точці $x = 0$.

Для побудови функції Гріна граничних задач $(17)$, $(18)$ на півпрямій використаємо метод відображення теплових джерел.

Якщо на прямій розташувати в довільній точці $\xi$ миттєве точкове джерело, яке діє в момент часу $\tau$ інтенсивності $c \rho S$, а симетричній точці $-\xi$ миттєве точкове джерело, яке діє в момент часу $\tau$ і має інтенсивність $-c \rho S$, то з фізичних міркувань можна очікувати, що в точці $x = 0$, яка лежить посередині між точками $x = \xi$ та $x = -\xi$, вплив теплових джерел дає нульову температуру. Дійсно, виходячи з фізичного змісту фундаментального розв’язку, отримаємо, що температура від дії двох точкових джерел дорівнює

$$\begin{equation} \begin{aligned} E_1(x, \xi, t - \tau) &= \frac{\theta(t - \tau)}{2 a \sqrt{t - \tau}} \cdot \exp\left\{- \frac{|x - \xi|^2}{2 a^2 (t - \tau)}\right\} - \newline &\quad -\frac{\theta(t-\tau)}{2a\sqrt{t-\tau}} \cdot \exp\left\{-\frac{|x + \xi|^2}{2a^2 (t-\tau)}\right\}. \end{aligned} \end{equation}$$

Легко перевірити, що $E_1 (0, \xi, t - \tau ) = 0$, $\left. E_1 (x, \xi, t - \tau) \right\vert_{t-\tau < 0} = 0$, а другий додаток задовольняє однорідному рівнянню теплопровідності при $x > 0$, $t - \tau > 0$. Таким чином $E_1(x, \xi, t - \tau)$ є функція Гріна першої граничної задачі рівняння теплопровідності для півпрямої.

Якщо на прямій розташувати в довільній точці $\xi$ миттєве точкове джерело, яке діє в момент часу $\tau$ інтенсивності $c\rho S$, а симетричній точці $-\xi$ миттєве точкове джерело, яке діє в момент часу $\tau$ і має інтенсивність $-c\rho S$, то з фізичних міркувань можна очікувати, що в точці $x = 0$, яка лежить посередині між точками $x = - \xi$ та $x = \xi$, тепловий потік буде дорівнювати нулю.

Запишемо температуру в цьому випадку:

$$\begin{equation} \begin{aligned} E_2(x, \xi, t- \tau) &= \frac{\theta(t-\tau)}{2a\sqrt{t-\tau}} \cdot \exp\left\{-\frac{|x - \xi|^2}{2a^2 (t-\tau)}\right\} + \newline &\quad + \frac{\theta(t-\tau)}{2a\sqrt{t-\tau}} \cdot \exp\left\{\frac{|x + \xi|^2}{2a^2 (t-\tau)}\right\}. \end{aligned} \end{equation}$$

Легко перевірити, що $\left. \frac{\partial E_2(x, \xi, t)}{\partial x} \right\vert_{x = 0} = 0$.

Таким чином $E_2(x, \xi, t - \tau)$ є функцією Гріна другої граничної задачі рівняння теплопровідності для півпрямої.

Для першої граничної задачі будемо мати:

$$\begin{equation} \begin{aligned} u(x, t) &= \Int_0^t \Int_0^\infty E_1(x, \xi, t - \tau) f(\xi, \tau) \diff \xi \diff \tau + \newline &\quad + \Int_0^\infty E_1(x, \xi, \tau) u_0 (\xi) \diff \xi + \newline &\quad + a^2 \Int_0^t \left( \left. \frac{\partial E_1(x, \xi, t - \tau)}{\partial n_\xi} \right\vert_{\xi = 0} \varphi_0 (\tau) \right) \diff \tau. \end{aligned} \end{equation}$$

Для другої граничної задачі отримаємо

$$\begin{equation} \begin{aligned} u(x, t) &= \Int_0^t \Int_0^\infty E_2(x, \xi, t - \tau) f(\xi, \tau) \diff \xi \diff \tau + \newline &\quad + \Int_0^\infty E_2(x, \xi, \tau) u_0 (\xi) \diff \xi - \newline &\quad - a^2 \Int_0^t E_2(x, 0, t - \tau) \varphi(\tau) \diff \tau. \end{aligned} \end{equation}$$

Продемонстрований метод це лише один з прийомів, який використовується для побудови функції Гріна.