Контрольні запитання до леції №22

19. Регулярність на нескінченності, перетворення Кельвіна. Гармонічність в нескінченно віддаленій точці.

Перетворення Кельвіна

Нехай функція $u$ гармонічна за межами кулі $U(0, R)$, тоді функцію

\begin{equation} v(y) = \left( \frac{R}{|y|} \right)^{n - 2} \cdot u \left( \frac{R^2}{|y|^2} \cdot y \right). \end{equation}

будемо називати перетворенням Кельвіна гармонічної функції $u(x)$ в $n$-вимірному евклідовому просторі.

В подальшому будемо вважати, що $R = 1$, цього завжди можна досягти шляхом зміни масштабу. Для $n = 3$ перетворення Кельвіна $v(y)$ гармонічної функції $u(x)$ є гармонічною функцією аргументу $y$.

При $n = 3$, $R = 1$ перетворення Кельвіна має вигляд

\begin{equation} v(y) = \frac{1}{|y|} \cdot u \left( \frac{y}{|y|^2} \right). \end{equation}

Оскільки $y = x / \vert x \vert^2$, а $x = y / \vert y \vert^2$, то $\vert y \vert = 1 / \vert x \vert$, або $v(y) = \vert x \vert \cdot u(x)$.

Функція $v(r', \theta, \varphi) = r \cdot u(r, \theta, \varphi)$, де $r = 1 / r'$, задовольняє рівнянню Лапласа, якщо $u(r, \theta, \varphi)$ — гармонічна функція.

Аналогічно тому, як було показана гармонічність $v(y) = 1 / \vert y \vert \cdot u (y / \vert y \vert^2)$ у тривимірному евклідовому просторі, можна показати гармонічність функції $v(y) = u( y / \vert y \vert^2)$ у двовимірному евклідовому просторі.

Гармонічність в нескінченно віддаленій точці та поведінка гармонічних функцій на нескінченості.

Будемо говорити, що функція $u(x)$ є гармонічною функцією в нескінченно віддаленій точці, якщо функція

\begin{equation} v(y) = \begin{cases} 1 / |y| \cdot u (y / |y|^2), & n = 3, \newline u (y / |y|^2), & n = 2, \end{cases} \end{equation}

є гармонічною функцією в точці нуль.

Легко бачити, що

\begin{equation} v(y) = \begin{cases} |x| \cdot u(x), & n = 3, \newline u(x), & n = 2. \end{cases} \end{equation}

Теорема (про поведінку гармонічних функцій в нескінченно віддалені точці в просторі). Якщо при $n = 3$ функція $u(x)$ гармонічна в нескінченно віддаленій точці, то при $\vert x \vert \to \infty$ функція прямує до нуля не повільніше $1 / \vert x \vert$, а частинні похідні ведуть себе як $D^\alpha u(x) = O(1 / \vert x \vert^{1 + \vert \alpha \vert})$.

Теорема (про поведінку гармонічних функцій в нескінченно віддалені точці на площині). Якщо при $n = 2$ функція $u(x)$ гармонічна в нескінченно віддаленій точці, то при $\vert x \vert \to \infty$ функція $u(x)$ обмежена, а частинні похідні ведуть себе як $D^\alpha u(x) = O(1 / \vert x \vert^{1 + \vert \alpha \vert})$.

Гармонічні функції які мають поведінку на нескінченості визначену теоремами для тривимірного і двовимірного просторів називають регулярними на нескінченості гармонічними функціями, а відповідні оцінки умовами регулярності на нескінченості.

20. Оператор Лапласа в циліндричній та сферичній системах координат.

Якщо замість прямокутних координат $x, y, z$ ввести ортогональні криволінійні координати $q_1, q_2, q_3$ за допомогою співвідношень

\begin{equation} q_i = f_i(x, y, z), \quad i = 1, 2, 3, \end{equation}

які дозволяють записати обернені перетворення

\begin{equation} \begin{aligned} x &= \varphi_1(q_1, q_2, q_3), \newline y &= \varphi_2(q_1, q_2, q_3), \newline z &= \varphi_3(q_1, q_2, q_3). \end{aligned} \end{equation}

Загальний вигляд оператора Лапласа в криволінійних координатах має вигляд:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta u &= \frac{1}{H_1 H_2 H_3} \left( \frac{\partial}{\partial q_1} \left( \frac{H_2 H_3}{H_1} \cdot \frac{\partial u}{\partial q_1} \right) \right. + \newline &\quad + \frac{\partial}{\partial q_2} \left( \frac{H_1 H_3}{H_2} \cdot \frac{\partial u}{\partial q_2} \right) + \newline &\quad + \left. \frac{\partial}{\partial q_3} \left( \frac{H_2 H_1}{H_3} \cdot \frac{\partial u}{\partial q_3} \right) \right). \end{aligned} \end{equation}$$

Де

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} H_1^2 &= \left( \frac{\partial \varphi_1}{\partial q_1} \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi_2}{\partial q_1} \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi_3}{\partial q_1} \right)^2, \newline H_2^2 &= \left( \frac{\partial \varphi_1}{\partial q_2} \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi_2}{\partial q_2} \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi_3}{\partial q_2} \right)^2, \newline H_3^2 &= \left( \frac{\partial \varphi_1}{\partial q_3} \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi_2}{\partial q_3} \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi_3}{\partial q_3} \right)^2. \end{aligned} \right. \end{equation}$$

Сферична система координат

Для сферичної системи координат $q_1 = r$, $q_2 = \theta$, $q_3 = \varphi$. Формули мають вигляд $x = r \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi$, $y = r \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi$, $z = r \cdot \cos \theta$, $H_1 = 1$, $H_2 = r$, $H_3 = r \cdot \sin \theta$.

Таким чином оператор Лапласа у сферичній системі координат матиме вигляд.

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta_{r, \varphi, \theta} u &= \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \cdot \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \newline &\quad + \frac{1}{r^2 \cdot \sin \theta} \cdot \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \cdot \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \newline &\quad + \frac{1}{r^2 \cdot \sin^2 \theta} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2}. \end{aligned} \end{equation}$$

Циліндрична система координат

Для циліндричної системи координат $q_1 = \rho$, $q_2 = \varphi$, $q_3 = z$.

Формули мають вигляд $x = \rho \cdot \cos \varphi$, $y = \rho \cdot \sin \varphi$, $z = z$. $H_1 = 1$, $H_2 = \rho$, $H_3 = 1$.

Оператор Лапласа в циліндричній системі координат має вигляд:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta_{\rho, \varphi, z} u &= \frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho \cdot \frac{\partial u}{\partial \rho} \right) + \newline &\quad + \frac{1}{\rho^2} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}. \end{aligned} \end{equation}$$

23. Принцип максимуму гармонічної функції, наслідки.

Теорема (принцип максимуму гармонічних функцій). Якщо гармонічна в скінченій області функція досягає у внутрішній точці цієї області свого максимального або мінімального значення, то ця функція є тотожна константа.

Доведення. Нехай $u(x)$ — гармонічна функція в обмеженій області $\Omega$ і досягає в точці $x_0 \in \Omega$ свого максимального значення. Розглянемо кулю $S(x_0, R_0) \in \Omega$ максимально великого радіусу.

Оскільки $u(x_0) = \Max_{x \in \Omega} u(x)$, то значення функції $u(x)$, коли $x \in U(x_0, R_0)$ задовольняє нерівності $u(x) \le u(x_0)$.

Якщо хоча б у одній точці $S(x_0, R_0)$ нерівність строга, тобто $u(x) < u(x_0)$, то за рахунок неперервності гармонічних функцій ця нерівність буде збережена і в деякому околі цієї точки, а це означатиме, що

\begin{equation} u(x_0) > \frac{1}{4 \pi R_0^2} \Iint_{S(x_0, R_0)} u(\xi) \diff S_\xi. \end{equation}

Тобто ми прийшли до протиріччя з припущенням, що $\exists \xi \in S(x_0, R_0)$, що $u(\xi) < u(x_0)$. Це означає, що $u(x) = u(x_0)$, $x \in S(x_0, R_0)$.

Оскільки ця рівність має місце для кулі будь-якого радіусу $R \le R_0$, то це означає, що $u(x) \equiv u(x_0)$ коли $x \in U(x_0, R_0)$.

Покажемо тепер, що функція $u(x) \equiv u(x_0)$, коли $x \in \Omega$.

Для цього виберемо довільну точку $x^\star \in \Omega$, то з’єднаємо її з точкою $x_0$ ламаною. Побудуємо послідовність куль $\{U(x_i, R_i)\}_{i=0}^N$ з такими властивостями: центри куль $x_i$, $i = \overline{1,N}$ належать ламаній $x_{i+1} \in U(x_i, R_i) \subset \Omega$, $i = \overline{1,N}$, $x^\star \in U(x_N, R_N)$.

Оскільки центр кожної наступної кулі з номером $i + 1$, лежить всередині кулі з номером $i$, то використовуючи метод математичної індукції, ми можемо встановити властивість: якщо функція $u(x) \equiv u(x_0)$ коли $x \in U(x_i, R_i)$ то $u(x) \equiv u(x_0)$, коли $x \in U(x_{i + 1}, R_{i + 1})$. Це означає, що $u(x) \equiv u(x_0)$, коли $x \in U(x_N, R_N)$. Зокрема, це означає, що $u(x^\star) \equiv u(x_0)$. $\square$

Наслідки з принципу максимуму:

1. Гармонічна функція відмінна від тотожної константи не досягає в скінченій області ні свого максимального ні свого мінімального значення.

2. Якщо функція гармонічна в області $\Omega$ і неперервна в $\overline\Omega$, то свої максимальне і мінімальне значення вона приймає на границі області.

3. Якщо функція гармонічна в області $\Omega$ і неперервна в $\overline\Omega$, то $\vert u(x) \vert \le \Max_{x \in S} \vert u(x) \vert$.

4. Нехай $u(x)$, $v(x)$ — гармонічні функції в області $\Omega$ і має місце нерівність $\forall x \in S$: $u(x) \le v(x)$, тоді $\forall x \in \Omega$: $u(x) \le v(x)$.

24. Теорема єдиності гармонійної функції із граничними умовами першого та другого роду.

При формулюванні теорем єдиності гармонічних функцій ми скрізь будемо припускати існування відповідної гармонічної функції, хоча сам факт існування гармонічної функції ми доведемо пізніше.

Теорема (Перша теорема єдиності гармонічних функцій). Якщо в обмеженій області $\Omega$, (або в області $\Omega' = \RR^3 \setminus \Omega$) існує гармонічна функція (або гармонічна функція регулярна на нескінченості), яка приймає на поверхні $S$ задані значення, то така функція єдина.

Теорема (Друга теорема єдиності гармонічних функцій). Якщо в обмеженій області $\Omega$, (або в області $\Omega' = \RR^3 \setminus \Omega$) існує гармонічна функція (або гармонічна функція регулярна на нескінченості), яка приймає на поверхні $S$ задані значення своєї нормальної похідної $\left. \frac{\partial u}{\partial n} \right\vert_{x \in S}$, то в області $\Omega$ вона визначається с точністю до адитивної константи, а в області $\Omega'$ вона єдина.

25. Теорема єдиності гармонійної функції із граничними умовами третього роду.

Теорема (Третя теорема єдиності гармонічних функцій). Якщо в обмеженій області $\Omega$, (або в області $\Omega'$) існує гармонічна функція (або гармонічна функція регулярна на нескінченості), яка приймає на поверхні $S$ задані значення лінійної комбінації нормальної похідної та функції $\left. \frac{\partial u}{\partial n} + \alpha \cdot u(x) \right\vert_{x \in S}$, $\alpha \ge 0$ то в області $\Omega$ та в області $\Omega'$ вона визначається єдиним чином.

34. Джерела виникнення рівняння Гельмгольца.

$$\begin{equation} \begin{aligned} & a^2 \Delta u(x, t) - \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -F(x, t), \label{eq:6.1} \newline & \left. \ell_i u \right\vert_{x \in S} = f(x, t). \end{aligned} \end{equation}$$

В задачі $(12)$ відсутні початкові умови у зв’язку з тим, що розглядаються спеціальні значення функції $F(x, t)$ та $f(x, t)$. А саме ми вважаємо, що ці функції є періодичними по аргументу $t$ з однаковим періодом.

Покладемо, що

\begin{align} F(x, t) &= F_1(x) \cdot \cos(\omega t) - F_2(x) \cdot \sin(\omega t), \newline f(x, t) &= f_1(x) \cdot \cos(\omega t) - f_2(x) \cdot \sin(\omega t). \end{align}

Можна очікувати, що в результаті доволі тривалої дії таких збурень розв’язок задачі при будь-яких початкових умовах теж буде періодичним, тобто

\begin{equation} u(x, t) = V_1(x) \cdot \cos(\omega t) - V_2(x) \cdot \sin(\omega t). \end{equation}

Підставляючи цей вигляду у задачу отримаємо

\begin{equation} \left( \Delta V_1 + \frac{\omega^2}{a^2} \cdot V_1 \right) \cdot \cos(\omega t) - \left( \Delta V_2 + \frac{\omega^2}{a^2} \cdot V_2 \right) \cdot \sin(\omega t) = - \frac{F_1}{a^2} \cdot \cos (\omega t) - \frac{F_2}{a^2} \cdot \sin(\omega t). \end{equation}

і

\begin{equation} \cos(\omega t) \cdot \left. \ell_i V_1 \right\vert_{x \in S} - \sin(\omega t) \cdot \left. \ell_i V_2 \right\vert_{x \in S} = f_1 \cdot \cos(\omega t) - f_2 \cdot \sin(\omega t). \end{equation}

Оскільки функції $\sin(\omega t)$, $\cos(\omega t)$ — лінійно незалежні, то для амплітуди $V_i(x)$, $i = 1, 2$ отримаємо рівняння Гельмгольца:

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \Delta V_j(x) + \frac{\omega^2}{a^2} = - \frac{F_j}{a^2}, \newline & \left. \ell_i V_j \right\vert_{x \in S} = f_j, \end{aligned} \right. \end{equation}$$

для $x \in \Omega$, $j = 1, 2$.

Аналогічний результат можна отримати, якщо ввести комплексну амплітуду $V = V_1 + i V_2$, комплексну зовнішню силу та комплексну амплітуду граничної умови $F = F_1 + i F_2$, $f = f_1 + i f_2$.

Шукаючи розв’язок початкової задачі вигляді

\begin{equation} U(x, t) = V(x) \cdot e^{i \omega t}. \end{equation}

Отримаємо для комплексної амплітуди задачу

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \Delta V(x) + \frac{\omega^2}{a^2} = - \frac{F}{a^2}, \newline & \left. \ell_i V_j \right\vert_{x \in S} = f_j. \end{aligned} \right. \end{equation}$$

для $x \in \Omega$.

Другим джерелом виникнення рівняння Гельмгольца є стаціонарне рівняння дифузії при наявності в середовище процесів, що ведуть до розмноження речовини. Такі процеси наприклад виникають при дифузії нейтронів. Рівняння має вигляд:

\begin{equation} \Delta V(x) + \frac{c}{D} \cdot V(x) = 0, \end{equation}

де $D$ — коефіцієнт дифузії, $c$ — швидкість розмноження нейтронів.

35. Приклади неєдиності розв’язку внутрішньої граничних задач рівняння Гельмгольца, природа неєдиності.

Суттєвою відмінністю граничних задач для рівняння Гельмгольца від граничних задач рівняння Лапласа полягає в можливому порушенні єдиності розв’язку як для внутрішніх так і для зовнішніх задач.

Розглянемо таку граничну задачу:

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 2 k^2 u = 0, \label{eq:6.7} \newline & u(0, y) = u(\pi, y) = u(x, 0) = u(x, \pi) = 0, \end{aligned} \right. \end{equation}$$

для $0 < x < \pi$, $0 < y < \pi$.

При $k = 0$ задача $(22)$ має лише тривіальний розв’язок, що випливає з першої теореми єдності гармонічних функцій.

Нехай, $k$ — ціле число. Неважко перевірити, що в цьому разі задача $(22)$ має нетривіальний розв’язок $u(x, y) = \sin(k x) \cdot \sin (k y)$, а це в свою чергу означає, що задача з неоднорідними граничними умовами та неоднорідне рівняння Гельмгольца

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 2 k^2 u = -F(x, y), \newline & u(0, y) = \varphi_1(y), \newline & u(1, y) = \varphi_2(y), \newline & u(x, 0) = \psi_1(x), \newline & u(x, 1) = \psi_2(x), \end{aligned} \right. \end{equation}$$

має неєдиний розв’язок, який визначається з точністю до розв’язку однорідного рівняння, тобто з точністю до функції $A \cdot \sin(k x) \cdot \sin(k y)$.