Контрольні запитання до леції №17

1. Поняття $\delta$-функції Дірака, слабка збіжність.

(Узагальненою) $\delta$-функцією Дірака називається функція що задовольняє співвідношенню

$$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \varphi(x) \,\mathrm{d}x = \varphi(0)$$

для довільної функції $\varphi \in D(\mathbb{R}^1)$, тобто з множини нескінченно-диференційовних в $\mathbb{R}^n$ функцій з коспактним носієм.

Аналогічним чином можна ввести і зсунуту функцію Дірака

$$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x - a) \varphi(x) \, \mathrm{d} x = \varphi(a).$$

Аналогічно $\delta$-функції, введеній на прямій, можна ввести $\delta$-функцію для $n$-вимірного евклідового простору:

$$\displaystyle\iiint\limits_{\mathbb{R}^n} \delta(x - a) \varphi(x) \, \mathrm{d} x = \varphi(a).$$

Послідовність $\{f_n\}$ лінійних функціоналів $f_n: X \to \mathbb{R}^1$ називається слабко збіжною якщо для довільного $x \in X$ збігається числова послідовність $f_n(x)$.

Поняття слабкої збіжності природнім чином узагальнюється з послідовності функціоналів $\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ на довільну іншу індексовану множину функцій $\{f_i\}_{i \in I}$ за умови що на множині $I$ індексів введено поняття збіжності.

Зокрема, поняття слабкої збіжності дозволяє визначити $\delta$-функцію Дірака як слабку границю $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} f_\varepsilon$ функцій $f_\varepsilon$ визначених наступним чином:

$$f_\varepsilon(x) = \begin{cases} 0, & x < - \varepsilon, \newline 1 / 2 \varepsilon, & - \varepsilon \le x < \varepsilon, \newline 0, & \varepsilon \le x. \end{cases}$$

2. Узагальнені функції, визначення, приклади, сингулярні та регулярні узагальнені функції.

Під узагальненою функцією $f$ будемо розуміти довільний лінійний неперервний функціонал $\varphi \mapsto \langle f, \varphi \rangle$ який визначений для довільної функції $\varphi \in D(\mathbb{R}^n)$. Тут лінійність і неперервність розуміємо в традиційному сенсі.

Узагальнену функцію $f$ будемо називати регулярною якщо вона локально-інтегровна, тобто

$$\forall K \subset \mathbb{R}^n \quad \exists \displaystyle\int\limits_K |f(x)| \, \mathrm{d} x,$$

де $K$ — компакт.

Усі інші узагальнені функції називаються сингулярними. Прикладом сингулярної функції може слугувати $\delta$-функція Дірака.

3. Диференціювання узагальнених функцій, приклади обчислення похідних.

Головною перевагою узагальнених функцій є те, що будь-яка узагальнена функція має похідні будь-якого порядку.

Для визначення похідної узагальненої функції розглянемо звичайну неперервно диференційовну функцію $f(x)$ і скористаємось наступною формулою інтегрування за частинами:

$$\displaystyle\int\limits_{\mathbb{R}^n} D^{\alpha_1 \ldots \alpha_n} f(x) \varphi(x) \, \mathrm{d} x = (-1)^{|\alpha|} \displaystyle\int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x) D^{\alpha_1 \ldots \alpha_n} \varphi(x) \, \mathrm{d} x,$$

де $\vert\alpha\vert = \alpha_1 + \ldots + \alpha_n$, яка є істинною для будь-якої функції $\varphi \in D(\mathbb{R}^n)$. Права частина цієї рівності має зміст для будь-якої локально-інтегровної функції $f$.

Таким чином похідною $D^{\alpha_1 \ldots \alpha_n}$ будь-якої локально-інтегровної функції $f$ будемо називати лінійний неперервний функціонал

$$\Big\langle D^{\alpha_1 \ldots \alpha_n} f, \varphi \Big\rangle = (-1)^{|\alpha|} \displaystyle\int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x) D^{\alpha_1 \ldots \alpha_n} \varphi(x) \, \mathrm{d} x.$$

Аналогічним чином вводиться похідна і для сингулярних узагальнених функцій, тобто $D^{\alpha_1 \ldots \alpha_n} f$ визначається як лінійний неперервний функціонал

$$\Big\langle D^{\alpha_1 \ldots \alpha_n} f, \varphi \Big\rangle = (-1)^{|\alpha|} \Big\langle f, D^{\alpha_1 \ldots \alpha_n} \varphi \Big\rangle.$$

Розглянемо приклади обчислення похідних деяких узагальнених функцій.

Приклад: знайти $\theta'$, де

$$\theta(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0, \newline 1, & 0 < x \end{cases}$$

— функція Хевісайда.

Розглянемо наступні рівності:

$$\left\langle \theta', \varphi \right\rangle = - \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \theta(x) \varphi'(x) \, \mathrm{d} x = - \displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty} \varphi'(x) \, \mathrm{d} x = \varphi(0) - \varphi(+\infty) = \varphi(0) = \langle \delta, \varphi \rangle.$$

Таким чином можна записати $\theta' = \delta$.

Приклад: знайти $\delta^{(2)}$.

$$\left\langle \delta^{(2)}, \varphi \right\rangle = \left\langle \delta, \varphi^{(2)} \right\rangle = \varphi^{(2)}(0).$$

4. Поверхнева функція Дірака.

Узагальнені функції (часто їх називають розподілами) можна інтерпретувати як розподіл електричних, магнітних зарядів або розподіл мас, тощо. Так, функцію Дірака можна трактувати як щільність з якою розподілена маса, що дорівнює одиниці в точці $x = 0$.

Узагальненням точкової функції Дірака є так звана поверхнева функція Дірака $\delta_S$, яку можна визначити як лінійний неперервний функціонал:

$$\varphi \mapsto \langle \delta_S, \varphi \rangle = \displaystyle\iint\limits_{S} \varphi(x) \, \mathrm{d} x.$$

Ця узагальнена функція може бути інтерпретована як щільність розподілу зарядів на поверхні $S$. Потенціал електростатичного поля можна записати у вигляді

$$W(x) = \left\langle \mu(y) \delta_S(y), \frac{1}{4 \pi |x - y|} \right\rangle = \displaystyle\iiint\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\mu(y) \delta_S(y) \, \mathrm{d} y}{4 \pi |x - y|} = \displaystyle\iint\limits_{S} \frac{\mu(y) \, \mathrm{d} y}{4 \pi |x - y|}.$$

Легко бачити, що $W(x)$ представляє собою потенціал електростатичного поля, утворений зарядженою поверхнею $S$ і називається потенціалом простого шару.

5. Використання узагальнених функцій для моделювання зосереджених факторів і розподілів.

Узагальнені функції (часто їх називають розподілами) можна інтерпретувати як розподіл електричних, магнітних зарядів або розподіл мас, тощо. Так наприклад функцію Дірака можна трактувати як щільність з якою розподілена маса, що дорівнює одиниці в точці $x = 0$. Аналогічним чином можна ввести і зсунуту функцію Дірака

$$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x - a) \varphi(x) \, \mathrm{d} x = \varphi(a).$$

Використовуючи цю формулу можна зобразити щільність розподілу зосереджених мас або іншої фізичної величини в точках прямої.

Так, якщо в точках $x_i$ розташовані зосереджені маси $m_i$, $i \in I$, то щільність такого розподілу мас можна зобразити у вигляді

$$\rho(x) = \displaystyle\sum\limits_{i \in I} m_i \cdot \delta(x - x_i).$$

При цьому повну масу, яка зосереджена на прямій можна порахувати за формулою

$$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \rho(x) \, \mathrm{d} x = \displaystyle\sum\limits_{i \in I} m_i.$$

Аналогічно $\delta$-функції, введеній на прямій, можна ввести $\delta$-функцію для $n$-вимірного евклідового простору:

$$\displaystyle\iiint\limits_{\mathbb{R}^n} \delta(x - a) \varphi(x) \, \mathrm{d} x = \varphi(a).$$

Тобто щільність розподілу точкових мас у просторі можна також записати у вигляді

$$\rho(x) = \displaystyle\sum\limits_{i \in I} m_i \cdot \delta_3(x - x_i).$$

Точковий одиничний електричний заряд розташований в точці $x_0$ створює потенціал рівний

$$\displaystyle\iiint\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\delta(y - x_0) \, \mathrm{d} y}{4 \pi |x - y|} = \frac{1}{4 \pi |x - x_0|}$$

в точці $x \in \mathbb{R}^3$. В цьому випадку $\delta(y - x_0)$ можна сприймати як щільність одиничного точкового заряду.

Якщо щільність зарядів $f(y)$ представляє собою локально інтегровану функцію, то маємо для потенціалу електростатичного поля відому формулу електростатики:

$$P(x) = \displaystyle\iiint\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{f(x) \, \mathrm{d} y}{4 \pi |x - y|}.$$

6. Поняття носія та порядку узагальнених функцій.

Вводячи поняття узагальнених функцій ми використовували множину основних (пробних) функцій $D(\mathbb{R}^n)$.

Взагалі кажучи, простір пробних функцій (а таким чином і розподілів) можна узагальнити, ввівши простір основних функцій як $D(\Omega)$, тобто клас пробних функцій складається з функцій, які нескінченно-диференційовні в $\Omega$ і на границі $\partial \Omega$ перетворюються в нуль разом з усіма своїми похідними.

Таким чином можна утворити достатньо широкий клас пробних функцій.

Узагальнені функції взагалі кажучи не мають значень в окремих точках.

В той же час можна говорити про обертання узагальненої функції на нуль у деякій області: будемо говорити, що узагальнена функція $f$ обертається на нуль у області $\Omega$, якщо $\langle f, \varphi \rangle = 0$, $\forall \varphi \in D(\Omega)$.

Нульовою множиною $O_f$ узагальненої функції $f$ будемо називати об’єднання усіх областей у яких узагальнена функція $f$ обертається на нуль.

Носієм $\text{supp} f$ узагальненої функції $f$ називають множину $\mathbb{R}^n \setminus O_f$.

Будемо говорити, що узагальнена функція $f$ має порядок сингулярності (або просто порядок) $\le j$, якщо

$$f = \displaystyle\sum\limits_{|\alpha| \le j} D^\alpha g_\alpha,$$

де $g_\alpha \in L_{\text{loc}}^1 (\Omega)$. Якщо число $j$ у цій формулі неможливо зменшити, то кажуть що порядок узагальненої функції $f$ дорівнює $j$.

Узагальнені функції порядку $j$ можна визначати як лінійні неперервні функціонали на класі основних функцій $D^j(\Omega)$.

7. Згортка та регуляризація узагальнених функцій.

Нехай $f(x), g(x)$ — дві локально-інтегровні функції в $\mathbb{R}^n$. При цьому функція

$$h(x) = \displaystyle\iiint\limits_{\mathbb{R}^n} | g(y) f(x - y) | \, \mathrm{d} y$$

теж буде локально-інтегровна в $\mathbb{R}^n$.

Згорткою $f * g$ цих функцій будемо називати функцію

$$(f * g) (x) = \displaystyle\iiint\limits_{\mathbb{R}^n} f(y) g(x - y) \, \mathrm{d} y = \displaystyle\iiint\limits_{\mathbb{R}^n} g(y) f(x - y) \, \mathrm{d} y = (g * f)(x).$$

Таким чином згортка є локально-інтегровною функцію і тим самим визначає регулярну узагальнену функцію, яка діє на основні функції за правилом

$$\varphi \mapsto \displaystyle\iiint\limits_{\mathbb{R}^n} (f * g) (\xi) \varphi(\xi) \, \mathrm{d} \xi.$$

Регуляризацією узагальненої функції $f$ будемо називати функцію $f_\varepsilon = f * \omega_\varepsilon$, де

$$\omega_\varepsilon(x) = \begin{cases} C_\varepsilon \exp \left\{ - \frac{\varepsilon^2}{\varepsilon^2 - |x|^2} \right\}, & |x| \le \varepsilon, \newline 0, & |x| > \varepsilon, \end{cases}$$

а сталу $C_\varepsilon$ обираємо так, щоби

$$\displaystyle\iiint\limits_{\mathbb{R}^n} \omega_\varepsilon (x) \, \mathrm{d} x = 1.$$

Зрозуміло, що $f_\varepsilon \in C^\infty (\mathbb{R}^n)$, а враховуючи властивості $\varepsilon$-шапочки $\omega_\varepsilon$ легко бачити, що

$$f_\varepsilon \xrightarrow[\varepsilon \to 0]{\text{w.}} f,$$

тобто будь-яка узагальнена функція є слабка границя своїх регуляризацій.