Контрольні запитання до леції №24

37. Визначення потенціалів для оператора Лапласа та Гельмгольца.

Запишемо потенціали для оператору Лапласа для якого $q_0(x) = \frac{1}{4 \pi \vert x \vert}$ — фундаментальний розв’язок:

• $\Phi_0(x) = \Int_\Omega \rho(y) q_0(x - y) \diff y$ — потенціал об’єму;

• $V_0(x) = \Int_S \mu(y) q_0(x - y) \diff S_y$ — потенціал простого шару;

• $W_0(x) = \Int_S \sigma(y) \frac{\partial q_0(x - y)}{\partialn n_y} \diff S_y$ — потенціал подвійного шару.

Запишемо вигляд потенціалів для рівняння Гельмгольца, для якого $q_k(x) = \frac{e^{\pm i k \vert x \vert}}{4 \pi \vert x \vert}$ — фундаментальний розв’язок:

• $\Phi_k^\pm(x) = \Int_\Omega \rho(y) q_k(x - y) \diff y$ — потенціал об’єму;

• $V_k^\pm(x) = \Int_S \mu(y) q_k(x - y) \diff S_y$ — потенціал простого шару;

• $W_k^\pm(x) = \Int_S \sigma(y) \frac{\partial q_k(x - y)}{\partialn n_y} \diff S_y$ — потенціал подвійного шару.

39. Теорема про властивості перших похідних потенціалу об’єму.

Теорема: Якщо щільність $\rho$ вимірювана і обмежена функція на множині $\Omega$, то потенціали об’єму

\begin{equation} \Phi_0(x) = \Int_\Omega \rho(y) q_0(x - y) \diff y \end{equation}

і

\begin{equation} \Phi_k(x) = \Int_\Omega \rho(y) q_k(x - y) \diff y \end{equation}

є неперервними і неперервно-диференційовними функціями в усьому евклідовому просторі $\RR^3$.

40. Теорема про другі похідні потенціалу об’єму.

Нехай щільність $\rho \in C^1(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$. Тоді потенціали об’єму

\begin{equation} \Phi_k(x) = \Int_\Omega \rho(y) q_k(x - y) \diff y \end{equation}

і

\begin{equation} \Phi_0(x) = \Int_\Omega \rho(y) q_0(x - y) \diff y \end{equation}

мають в $\Omega$ неперервні похідні другого порядку і задовольняють рівнянням Гельмгольца

\begin{equation} (\Delta + k^2) \Phi_k^\pm (x) = - \rho(x), \end{equation}

і рівнянню Пуасона відповідно:

\begin{equation} \Delta \Phi_0(x) = - \rho(x). \end{equation}

41. Поняття поверхні Ляпунова, теорема про існування сфери Ляпунова.

Означення: $S \subset \RR^3$ називаэться поверхнею Ляпунова, якщо вона задовольняє двом умовам:

1. В кожній точці $x \in S$ цілком визначена нормаль $n_x$;

2. $\forall x, y \in S$ має місце: кут $\theta \le a r^\alpha$, де $\alpha, a > 0$ — певні сталі числа, $\theta$ — кут між векторами $n_x$, $n_y$, $r$ — відстань між точками $x$ i $y$.

Теорема (про існування сфери-окола Ляпунова): Нехай $S$ — замкнена поверхня Ляпунова, тоді $\exists d = \text{const} > 0$, що якщо довільну точку $х$ на $S$ прийняти за центр сфери радіуса $d$, то довільна пряма, що паралельна нормалі до точки $x$ перетинає поверхню $S$ всередині сфери лише один раз. $d$ — радіус сфери Ляпунова.

42. Локальна система координат для поверхні Ляпунова, оцінка $\cos(n_y, y - x)$.

Нехай є частина поверхні $S$, виберемо будь-яку точку $x$ (ценрт нової системи координат) на $S$ і розглянемо $S' = S \cap S_d(x)$. Причому $\xi_1 = n_x$, а $\xi_2, \xi_3$ — розташовані в дотичній площині до $S$.

В цій системі координат існує $f \in C^1$ така, що $S'$ можна записати як $\xi_3 = f(\xi_1, \xi_2)$. Звідси випливає, що $f(0, 0) = 0$ і $f_{\xi_1}(0, 0) = 0$, $f_{\xi_2}(0, 0) = 0$ і

\begin{equation} \left\vert \frac{\partial f}{\partial \xi_i} \right\vert \le \sqrt{3a} \cdot r^\alpha \le \frac{2^\alpha \sqrt{3}}{\alpha + 1} \cdot r^{\alpha + 1} = a \cdot r^{\alpha + 1}. \end{equation}

Оцінка $\cos(n_yn(y), y - x)$: $\cos(n_y, y - x) \le c \cdot r^\alpha$, де $c = \left( 2 a + \frac{r^\alpha} \cdot a \cdot \sqrt{3}}{\alpha + 1} \right)$.

43. Тілесний кут спостереження поверхні з точки простору, лема про обчислення тілесного кута.

Телесный угол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол).

Нехай $\Sigma$ — поверхня, що розглядається; $\Sigma$ та точка $x$ утворюють конус. Візьмемо $x$ за центр кулі $\sigma_R(x) = S_R(x) \cap K$, причому виберемо радіус так, щоб куля не перетиналась з $\Sigma$. $\vert \sigma_R(x)\vert$ &dmash; площа частини сфери, що розглядається.

Введемо до розгляду додатку величину $\omega_x(\Sigma) = \vert \sigma_R(x) \vert / R^2$, якщо $\cos(n_y, y - x) > 0$, $\forall y \in \Sigma$ то визначення коректне, інакше розбиваємо поверхню як $\Sigma = \bigcup_{i = 1}^n \Sigma_i$, тоді

\begin{equation} \omega_x(\Sigma) = \Sum_{u = 1}^n \vert \omega_x(\Sigma_i) \vert \cdot \text{sgn} (\cos(n_y, y - x)). \end{equation}

Якщо поверхня гладка і $x$ знаходиться на поверхні, то ми спостерігаємо $\Sigma$ під кутом $2 \pi$.

Лема: Нехай $S$ — поверхня Ляпунова, тоді значення тілесного кута під яким ця поверхня спостерігається з точки $x$ обчислюється за формулою:

\begin{equation} \omega_x(S) = - \Int_S \frac{\partial}{\partial n_y} \cdot \frac{\diff S_y}{|x - y|}. \end{equation}