Контрольні запитання до леції №18

8. Визначення фундаментального розв’язку основних диференціальних операторів.

Нехай $L$ — диференціальний оператор. Розглянемо диференціальне рівняння

$$L u = f(x).$$

Узагальненим розв’язком цього рівняння будемо називати будь-яку узагальнену функцію $u$, яка задовольняє це рівняння в розумінні виконання рівності:

$$\langle L u, \varphi \rangle = \langle f, \varphi \rangle$$

для довільної $\varphi \in D(\Omega)$.

Особливу роль в математичній фізиці відіграють фундаментальні розв’язки для основних диференціальних операторів математичної фізики: (Гельмгольца, теплопровідності, хвильового), які представляють собою узагальнені розв’язки неоднорідних диференціальних рівнянь:

$$\begin{align*} (\Delta + k^2) q_k(x) &= - \delta(x), \newline \left( a^2 \Delta - \frac{\partial}{\partial t} \right) \varepsilon(x, t) &= - \delta(x, t), \newline \left( a^2 \Delta - \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \psi(x, t) &= - \delta(x, t) \end{align*}$$

Узагальнені функції $q_k(x)$, $\varepsilon(x, t)$, $\psi(x, t)$ називаються фундаментальними розв’язками оператора Гельмгольца, теплопровідності, хвильового відповідно, якщо вони задовольняють відповідні рівняння як узагальнені функції:

$$\begin{align*} \displaystyle\iiint\limits_{\mathbb{R}^n} q_k(x) (\Delta + k^2) \varphi(x) \, \mathrm{d} x &= - \varphi(0), \newline \displaystyle\iiint\limits_{\mathbb{R}^{n + 1}} \varepsilon(x, t) \left( a^2 \Delta + \frac{\partial}{\partial t}\right) \varphi(x, t) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} t &= - \varphi(0, 0), \newline \displaystyle\iiint\limits_{\mathbb{R}^{n + 1}} \psi(x, t) \left( a^2 \Delta + \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) \varphi(x, t) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} t &= - \varphi(0, 0). \end{align*}$$

15. Фундаментальний розв’язок рівнянь Лапласа та Гельмгольца.

Для двохвимірного оператора Лапласа функція

$$q^{(2)}(x) = \frac{1}{2 \pi} \ln \frac{1}{\vert x\vert},$$

де $\vert x\vert = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$, є фундаментальним розв’язком, тобто задовольняє як узагальнена функція рівняння

$$\Delta_2 \frac{1}{2 \pi} \ln \frac{1}{\vert x\vert} = - \delta(x)$$

Тут останню рівність необхідно розуміти як

$$\displaystyle\iint\limits_{\mathbb{R}^2} \frac{1}{2 \pi} \ln \frac{1}{\vert x\vert} \Delta_2 \varphi(x) \, \mathrm{d} x = - \varphi(0)$$

для довільної $\varphi \in D(\mathbb{R}^2)$.

Для тривимірного оператора Гельмгольца функція

$$q_\pm^k(x) = \frac{e^{\pm ik\vert x\vert}}{4 \pi\vert x\vert}$$

є фундаментальним розв’язком, тобто задовольняє як узагальнена функція диференціальному рівнянню:

$$\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^3 \frac{\partial^2 q_\pm^k (x)}{\partial x_i^2} + k^2 q_\pm^k(x) = - \delta(x).$$

Останнє рівняння треба розуміти як

$$\displaystyle\iiint\limits_{\mathbb{R}^3} q_\pm^k(x) \left( \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^3 \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} + k^2 \right) \varphi(x) \, \mathrm{d} x = - \varphi(0)$$

для довільної $\varphi \in D(\mathbb{R}^3)$.

З формули для $q_\pm^k(x)$ легко отримати фундаментальний розв’язок для тривимірного оператора Лапласа, тобто показати, що функція $\frac{1}{4 \pi \vert x\vert}$ задовольняє наступному рівнянню:

$$\Delta_3 \frac{1}{4 \pi\vert x\vert} = - \delta(x), \quad x \in \mathbb{R}^3$$

Формально формулу $1 / 4 \pi \vert x \vert$ можна отримати з $q_\pm^k(x)$ при $k = 0$.

Функція

$$q^k(x) = \frac{1}{2\pi}K_0(-ik\vert x\vert),$$

де $x = (x_1, x_2)$ є фундаментальним розв’язком двовимірного оператора Гельмгольца, тобто задовольняє співвідношенню:

$$\displaystyle\iint\limits_{\mathbb{R}^2}q^k(x)\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^2\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}+k^2\right) \varphi(x)\,\mathrm{d} x = \varphi(0).$$

У формулі для $q^k(x)$ функція $K_\nu(x)$ — функція Бесселя другого роду уявного аргументу $\nu$-порядку і є одним з двох лінійно-незалежних розв’язків лінійного диференціального рівняння Бесселя уявного аргументу:

$$x^2 Y'' + x Y' - (x^2 + \nu^2) Y = 0.$$

16. Фундаментальний розв’язок рівняння теплопровідності.

Фундаментальним розв’язком оператора теплопровідності є

$$\varepsilon(x,t)=\frac{\theta(t)}{\left(2a\sqrt{\pi t}\right)^n} \cdot \exp\left\{ - \frac{\vert x\vert^2}{4a^2t} \right\}, \quad x \in \mathbb{R}^n$$

Це означає, що узагальнена функція $\varepsilon(x,t)$ задовольняє інтегральній тотожності:

$$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty \varepsilon(x,t) \left(\frac{\partial \phi}{\partial t} + a^2\Delta\phi\right)\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} t=-\varphi(0,0)$$

для довільної $\varphi\in D(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R})$.

17. Фундаментальний розв’язок хвильового оператора для $\mathbb{R}^1$, $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$.

Узагальнена функція

$$\psi_1(x, t) = \frac{1}{2a}\theta(at-\vert x\vert)$$

є фундаментальним розв’язком одновимірного хвильового оператора, тобто задовольняє інтегральному співвідношенню:

$$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty \displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty \left(a^2\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}\right)\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} t = - \varphi(0, 0)$$

для довільної $\varphi \in D(\mathbb{R}^2)$.

Без доведення наведемо вигляд фундаментального розв’язку для двовимірного та тривимірного хвильового оператора:

$$\begin{align*} \psi_2(x, t) &= \frac{\theta(at-\vert x\vert)}{2\pi a\sqrt{a^2t^2-\vert x\vert^2}}, \quad x \in \mathbb{R}^2, \newline \psi_3(x, t) &= \frac{\theta(t)}{4 \pi a^2 t} \delta_{S_{at}}(x), \quad x \in \mathbb{R}^3. \end{align*}$$