Контрольні запитання до леції №20

10. Визначення функції Гріна основних крайових задач для параболічного рівняння. Представлення розв’язку.

Будемо розглядати граничні задачі для рівняння теплопровідності:

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & a^2 \Delta u(x, t) - \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = - F(x, t), \newline & u(x, 0) = u_0(x), \newline & \left. \ell_i u(x, t) \right|_{x \in S} = f(x, t), \quad i = 1, 2, 3. \end{aligned} \right. \end{equation}$$

для $x \in \Omega$, $t > 0$.

Тут

$$\begin{align} \left. \ell_1 u(x, t) \right|_{x \in S} &= \left. u(x, t) \right|_{x \in S}, \newline \left. \ell_2 u(x, t) \right|_{x \in S} &= \left. \frac{\partial u(x, t)}{\partial n} \right|_{x \in S}, \newline \left. \ell_3 u(x, t) \right|_{x \in S} &= \left. \frac{\partial u(x, t)}{\partial n} + \alpha(x, t) \cdot u(x, t) \right|_{x \in S} \end{align}$$

— оператори граничних умов першого, другого, або третього роду.

Визначення функції Гріна рівняння теплопровідності: Функцію $E_i (x, \xi, t - \tau)$ будемо називати функцією Гріна першої, другої або третьої граничної задачі рівняння теплопровідності в області $\Omega$ з границею $S$ для $t > 0$, якщо вона є розв’язком настуної граничної задачі:

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & a^2 \Delta_x E_i (x, \xi, t - \tau) - \frac{\partial E_i(x, \xi, t - \tau)}{\partial t} = - \delta(x - \xi, t - \tau), \newline & \left. E_i(x, \xi, t - \tau) \right|_{t - \tau \le 0} = 0, \newline & \left. \ell_i E_i (x, \xi, t - \tau) \right|_{x \in S} = 0, \quad i = 1, 2, 3. \end{aligned} \right. \end{equation}$$

для $x \in \Omega$, $t > 0$.

Еквівалентне визначення можна надати у вигляді: Функцію $E_i (x, \xi, t - \tau)$ будемо називати функцією Гріна першої, другої або третьої граничної задачі рівняння теплопровідності в області $\Omega$ з границею $S$ для $t > 0$, якщо вона може бути представлена у вигляді

\begin{equation} E_i(x, \xi, t - \tau) = \epsilon(x - \xi, t - \tau) + \omega_i(x, \xi, t - \tau), \end{equation}

де перший доданок є фундаментальним розв’язком оператора теплопровідності, а другий є розв’язком наступної граничної задачі

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & a^2 \Delta_x \omega_i (x, \xi, t - \tau) - \frac{\partial \omega_i(x, \xi, t - \tau)}{\partial t} = - \delta(x - \xi, t - \tau), \newline & \left. \omega_i(x, \xi, t - \tau) \right|_{t - \tau \le 0} = 0, \newline & \left. \ell_i \omega_i (x, \xi, t - \tau) \right|_{x \in S} = -\left.\ell_i \epsilon_i(x - \xi, t - \tau)\right|_{x \in S} \quad i = 1, 2, 3. \end{aligned} \right. \end{equation}$$

для $x \in \Omega$, $t > 0$.

Враховуючи відповідні граничні умови, яким задовольняє розв’язок на границі поверхні $S$ отримаємо для першої граничної задачі:

$$\begin{equation} \begin{aligned} u(x, t) &= \Int_0^t \Iiint_\Omega E_1(x, \xi, t - \tau) F(\xi, \tau) \diff \xi \diff \tau + \newline & \quad + \Iiint_\Omega E_1(x, \xi, t) u_0(\xi) \diff \xi - \newline & \quad - a^2 \Int_0^t \Iint_S \left( \frac{\partial E_1(x, \xi, t - \tau)}{\partial n_\xi} f(\xi, \tau)\right) \diff S_\xi \diff \tau. \end{aligned} \end{equation}$$

Для другої та третьої граничних задач отримаємо

$$\begin{equation} \begin{aligned} u(x, t) &= \Int_0^t \Iiint_\Omega E_i(x, \xi, t - \tau) F(\xi, \tau) \diff \xi \diff \tau + \newline & \quad + \Iiint_\Omega E_i(x, \xi, t) u_0(\xi) \diff \xi + \newline & \quad + a^2 \Int_0^t \Iint_S E_i(x, \xi, t - \tau) f(\xi, \tau) \diff S_\xi \diff \tau. \end{aligned} \end{equation}$$

11. Визначення функції Гріна основних крайових задач для гіперболічного рівняння. Представлення розв’язку.

Будемо розглядати граничні задачі для хвильового рівняння:

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & a^2 \Delta u(x, t) - \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial t^2} = -F(x, t), \newline & u(x, 0) = u_0(x), \newline & \frac{\partial u(x, 0)}{\partial t} = v_0(x), \newline & \left. \ell_i u(x, t) \right|_{x \in s} = f(x, t), \quad i = 1, 2, 3. \end{aligned} \right. \end{equation}$$

Визначення функції Гріна хвильового рівняння: Функцію $\Theta_i(x, \xi, t - \tau)$ будемо називати функцією Гріна першої, другої або третьої граничної задачі хвильового рівняння в області $\Omega$ з границею $S$ і $t > 0$, якщо вона є розв’язком наступної граничної задачі:

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & a^2 \Delta_x \Theta_i(x, \xi, t - \tau) - \frac{\partial^2 \Theta_i(x, \xi, t - \tau)}{\partial t^2} = - \delta(x - \xi) \delta(t - \tau), \newline & \left. \Theta_i(x, \xi, t - \tau) \right|_{t - \tau \le 0} = 0, \newline & \left. \frac{\partial \Theta_i(x, \xi, t - \tau)}{\partial t} \right|_{t - \tau \le 0} = 0, \newline & \left. \ell_i \Theta_i(x, \xi, t - \tau) \right|_{x \in S} = 0, \quad i = 1, 2, 3. \end{aligned} \right. \end{equation}$$

Еквівалентне визначення можна надати у вигляді: Функцію $\Theta_i(x, \xi, t - \tau)$ будемо називати функцією Гріна першої, другої або третьої граничної задачі хвильового рівняння в області $\Omega$ з границею $S$ і $t > 0$, якщо вона може бути представлена у вигляді

\begin{equation} \Theta_i(x, \xi, t - \tau) = \psi(x - \xi, t - \tau) + \theta_i(x, \xi, t - \tau), \end{equation}

де перший доданок є фундаментальним розв’язком хвильового оператора, а другий є розв’язком наступної граничної задачі:

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & a^2 \Delta_x \theta_i(x, \xi, t - \tau) - \frac{\partial^2 \theta_i(x, \xi, t - \tau)}{\partial t^2} = 0, \newline & \left. \theta_i(x, \xi, t - \tau) \right|_{t - \tau \le 0} = 0, \newline & \left. \frac{\partial \theta_i(x, \xi, t - \tau)}{\partial t} \right|_{t - \tau \le 0} = 0, \newline & \left. \ell_i \theta_i(x, \xi, t - \tau) \right|_{x \in S} = - \left. \ell_i \psi_i(x, \xi, t - \tau) \right|_{x \in S}, \quad i = 1, 2, 3. \end{aligned} \right. \end{equation}$$

Розв’язком першої граничної задачі для хвильового рівняння є

$$\begin{equation} \begin{aligned} u(x, t) &= \Int_0^t \Iiint_\Omega \Theta_1(x, \xi, t - \tau) F(\xi, \tau) \diff \xi \diff \tau + \newline & \quad + \Iiint_\Omega \Theta_1(x, \xi, t) v_0(\xi), \diff \xi - \newline & \quad - \Iiint_\Omega \left. \frac{\partial \Theta_1(x, \xi, t - \tau)}{\partial \tau} \right|_{\tau = 0} u(\xi) \diff \xi - \newline & \quad - a^2 \Int_0^t \Iint_S \left( \frac{\partial \Theta_1(x, \xi, t - \tau)}{\partial n_\xi} f(\xi, \tau) \right) \diff S_\xi \diff \tau. \end{aligned} \end{equation}$$

Розв’язком другої і третьої граничних задач для хвильового рівняння є

$$\begin{equation} \begin{aligned} u(x, t) &= \Int_0^t \Iiint_\Omega \Theta_i(x, \xi, t - \tau) F(\xi, \tau) \diff \xi \diff \tau + \newline & \quad + \Iiint_\Omega \Theta_i(x, \xi, t) v_0(\xi), \diff \xi - \newline & \quad - \Iiint_\Omega \left. \frac{\partial \Theta_1(x, \xi, t - \tau)}{\partial \tau} \right|_{\tau = 0} u(\xi) \diff \xi - \newline & \quad - a^2 \Int_0^t \Iint_S \Big( \Theta_i(x, \xi, t - \tau) f(\xi, \tau) \Big) \diff S_\xi \diff \tau. \end{aligned} \end{equation}$$

30. Методи побудови функції Гріна для оператора Лапласа, на прикладі задачі Діріхле для півпростору.

Розглянемо граничну задачу:

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \Delta U(P) = - F(P), \quad P \in \Omega = \{(x, y, z): z > 0, x, y \in \RR\}, \newline & \left. U(P) \right|_{P \in S} = f(P), \quad S = \{(x, y, z): z = 0, x, y \in \RR\}. \end{aligned} \right. \end{equation}$$

Для знаходження розв’язку цієї задачі побудуємо функцію Гріна першої граничної задачі оператора Лапласа у півпросторі $z > 0$.

В довільній точці $P_0$ верхнього півпростору розташуємо одиничний точковий заряд, потенціал якого обчислюється

\begin{equation} \frac{1}{4 \pi |P - P_0|}, \end{equation}

в нижньому півпросторі $z < 0$, розташуємо компенсуючи заряди, так що би в кожній точці поверхні (площини $z = 0$) сумарний потенціал електростатичного поля дорівнював нулю:

Користуючись принципом суперпозиції електростатичних полів, легко зрозуміти, що компенсація потенціалу заряду в точці $P_0$ відбудеться у випадку, коли компенсуючий заряд розташувати дзеркально існуючому відносно площини $z = 0$, а величину заряду обрати одиничну зі знаком мінус.

В результаті отримаємо сумарний потенціал електростатичного поля:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Pi(P) &= \frac{1}{4 \pi \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2}} - \newline & \quad - \frac{1}{4 \pi \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z + z_0)^2}}. \end{aligned} \end{equation}$$

Таким чином побудована функція представляє собою функцію Гріна першої граничної задачі (Діріхле) оператора Лапласа для півпростору:

$$\begin{equation} \begin{aligned} G_1(P, P_0) &= \dfrac{1}{4 \pi \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2}} - \newline & \quad - \dfrac{1}{4 \pi \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z + z_0)^2}}. \end{aligned} \end{equation}$$

Для знаходження розв’язку задачі Діріхле скористаємося формулою інтегрального представлення:

$$\begin{equation} U(P_0) = \Iiint_\Omega G_1(P, P_0) F(P) \diff P - \Iint_S \frac{\partial G_1(P, P_0)}{\partial n_P} f(P) \diff S_P. \end{equation}$$

Можемо записати розв’язок задачі Діріхле для рівняння Пуассона:

$$\begin{equation} \begin{aligned} U(x_0, y_0, z_0) &= \frac{1}{4 \pi} \Int_0^\infty \Iint_{\RR^2} \left( \frac{1}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2}} \right. - \newline & \quad - \left. \frac{1}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z + z_0)^2}} \right) F(x, y, z) \diff x \diff y \diff z + \newline & \quad + \frac{z_0}{2 \pi} \Int_{-\infty}^\infty \Int_{-\infty}^\infty \frac{f(x, y) \diff x \diff y}{((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + z_0^2)^{3/2}} \end{aligned} \end{equation}$$

31. Методи побудови функції Гріна для оператора Лапласа, на прикладі задачі Неймана для півпростору.

Будемо розглядати граничну задачу:

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \Delta U(P) = - F(P), \quad P \in \Omega = \{(x, y, z): z > 0, x, y \in \RR\}, \newline & - \left. \frac{\partial U(P)}{\partial z} \right|_{P \in S} = f(P), \quad S = \{(x, y, z): z = 0, x, y \in \RR\}. \end{aligned} \right. \end{equation}$$

Для знаходження розв’язку цієї задачі побудуємо функцію Гріна другої граничної задачі оператора Лапласа для півпростору.

Для випадку умови другого роду тобто коли на площині $z = 0$ виконується умова

\begin{equation} \left. \frac{\partial G_2(P, P_0)}{\partial n_P} \right|_{P \in S} = 0, \end{equation}

її можна інтерпретувати як рівність нулю потоку електростатичного поля крізь площину $z = 0$.

Це означає, що поле внутрішнього одиничного заряду треба компенсувати полем зовнішніх зарядів. Це можна зробити, якщо дзеркально одиничному позитивному заряду в точці $P_0$ розташувати заряд додатного знаку в симетричній точці $\overline{P_0}$:

Таким чином сумарний потенціал двох зарядів, а значить і функцію Гріна можна записати у вигляді:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Pi(P) &= \frac{1}{4 \pi \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2}} + \newline & \quad + \frac{1}{4 \pi \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z + z_0)^2}} = G_2(P, P_0). \end{aligned} \end{equation}$$

Отримаємо формулу для розв’язку задачі Неймана рівняння Пуассона в півпросторі:

$$\begin{equation} \begin{aligned} U(x_0, y_0, z_0) &= \frac{1}{4 \pi} \Int_0^\infty \Iint_{\RR^2} \left( \frac{1}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2}} \right. + \newline & \quad + \left. \frac{1}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z + z_0)^2}} \right) F(x, y, z) \diff x \diff y \diff z + \newline & \quad + \frac{1}{2 \pi} \Int_{-\infty}^\infty \Int_{-\infty}^\infty \frac{f(x, y) \diff x \diff y}{((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + z_0^2)^{3/2}}. \end{aligned} \end{equation}$$