Контрольні запитання до леції №25

44. Потенціал подвійного шару на поверхні Ляпунова, властивості прямого значення потенціалу подвійного шару.

Теорема: Нехай $S$ — замкненм поверхня Ляпунова, $\sigma(y)$ обмежена та вимірна по поверхні $S$ функція. Тоді потенціал подвійного шару

\begin{equation} W_\pm^{(k)} = \Int_S \sigma(y) \cdot \frac{\partial}{\partial n_y} \frac{e^{\pm i k |x - y|}}{4 \pi |x - y|} \cdot \diff S_y \end{equation}

має в кожній точці поверхні $S$ цілком визначене скінченне значення, яке неперервно змінюється на поверхні $S$.

Означення: Прямим значенням потенціалу подвійного шару називається його значення в точках поверхні $S$.

45. Інтеграл Гауса, його значення в різних точках простору.

Інтегралом Гауса будемо називати потенціал подвійного шару оператора Лапласа з щільністю $\sigma(y) = 1$, тобто

\begin{equation} W_0(x) = \Iint_S \frac{\partial}{\partial n_y} \frac{\diff S_y}{4 \pi |x - y|}. \end{equation}

Лема: Якщо $S$ — замкнена поверхня Ляпунова, що обмежує область $\Omega$ то інтеграл Гауса визначається наступною формулою:

\begin{equation} W_0(x) = \begin{cases} -1, & x \in \Omega, \newline -1/2, & x \in S, \newline 0, & x \in \Omega’. \end{cases} \end{equation}

46. Теорема про граничні значення потенціалу подвійного шару.

Теорема: Нехай $S$ — замкнена поверхня Ляпунова, $\sigma$ — неперервна на поверхні щільність потенціалу подвійного шару. Тоді $W_\pm^{(k)} \subset C(S) \cap C(\overline{\Omega}) \cap C(\overline{\Omega'})$, і його граничні значення при підході до поверхні S зсередини і ззовні задовольняють співвідношенням:

\begin{equation} W_{\pm, \text{inner}}^{(k)} (x_0) = - \frac{\sigma(x_0)}{2} + \overline{W_\pm^{(k)}}(x_0) \end{equation}

і

\begin{equation} W_{\pm, \text{external}}^{(k)} (x_0) = \frac{\sigma(x_0)}{2} + \overline{W_\pm^{(k)}}(x_0), \end{equation}

де $x_0 \in S$, а $\overline{W_\pm^{(k)}}(x_0)$ — пряме значення потенціалу подвійного шару.

47. Прямі значення нормальної похідної потенціалу.

Теорема (про пряме значення нормальної похідної потенціалу простого шару): Якщо $\mu$ — обмежена і вимірювана функція на поверхні Ляпунова $S$, то нормальна похідна потенціалу простого шару

\begin{equation} \frac{\partial V^k(x)}{\partial n_x} = \Iint_S \mu(y) \frac{(\pm i k |x - y| - 1) e^{\pm i k |x - y|}}{4 \pi |x - y|^2} \cdot \cos(n_x, x - y) \diff S_y \end{equation}

має в кожній точці поверхні $S$ цілком визначене скінчене значення, яке неперервно змінюється коли точка $x$ пробігає поверхню $S$, це значення називають прямим значенням нормальної похідної потенціалу простого шару: $\overline{\frac{\partial V^k(x)}{\partial n_x}}$, $x \in S$.

48. Теорема про граничні значення правильної нормальної похідної потенціалу простого шару.

Означення: Граничні значення нормальної похідної в точці $x_0 \in S$ потенціалу простого шару зсередини $\frac{\partial V^k(x)}{\partial n_{\text{inner}}}$ та ззовні $\frac{\partial V^k(x)}{\partial n_{\text{external}}}$ будемо називати правильними, якщо вони є граничними значеннями \frac{\partial V^k(x)}{\partial n}$коли$x \to x_0$вздовж нормалі$n_{x_0}$$ зсередини та ззовні відповідно.

Теорема (про граничні значення нормальної похідної потенціалу простого шару): Якщо $S$ — замкнута поверхня Ляпунова, а $\mu$ — неперервна на $S$ щільність, то потенціал простого шару має на $S$ граничні значення правильної нормальної похідної при підході до точки $x \in S$ зсередини та ззовні і ці граничні значення можуть бути обчислені:

\begin{align} \frac{\partial V^k(x)}{\partial n_{\text{inner}}} &= \overline{\frac{\partial V^k(x)}{\partial n_x}} + \frac{\mu(x)}{2}, \newline \frac{\partial V^k(x)}{\partial n_{\text{external}}} &= \overline{\frac{\partial V^k(x)}{\partial n_x}} - \frac{\mu(x)}{2}. \end{equation}