Задача
За принципом Рунге оцінити пох. чисельн. інтегрув. за формулою трапецій
\begin{equation} I(f) = \Int_0^1 \frac{\diff x}{1 + x^2} \end{equation}
для кроку .
За Річардсона уточними обчислене значення.
Розв’язок
Принцип Рунге каже, що
\begin{equation} \overset{\circ} R_{h/2} = \frac{I_{h/2} - I_h}{2^m - 1}. \end{equation}
У нас , бо формула трапецій.
Далі за формулою трапецій обчислюємо:
\begin{equation} I_{0.5} = 0.5 \cdot \left( \frac{f(0)}{2} + f(0.5) + \frac{f(1)}{2} \right) = \frac{41}{30} \end{equation}
і
\begin{equation} I_{0.25} = 0.25 \cdot \left( \frac{f(0)}{2} + f(0.25) + f(0.5) + f(0.75) + \frac{f(1)}{2} \right) = \frac{5323}{6800}. \end{equation}
Тоді
\begin{equation} \overset{\circ} R_{h/2} = \frac{\frac{5323}{6800} - \frac{31}{40}}{2^2 - 1} = \frac{53}{20400} \approx 0.0025980. \end{equation}
Уточнимо знайдене значення за формулою Річардсона:
\begin{equation} \tilde I_{h/2} = \frac{4}{3} \cdot I_{h/2} - \frac{1}{3} \cdot I_h. \end{equation}
Підсвляючи наші значення маємо:
\begin{equation} \tilde I_{h/2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{5323}{6800} - \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{40} = \frac{8011}{10200} \approx 0.7853922. \end{equation}
Зауважимо, що це значення відхиляється від справжнього значення всього лише на .