Задача
З-ти явний вигляд кв. ф-ми, яка отримується з кв. ф-ли трапеції за ф-лою Річардсона.
Розв’язок
Нагадаємо формулу Річардсона:
\begin{equation} \tilde I_{h/2} = \frac{2^m I_{h/2} - I_h}{2^m - 1}, \end{equation}
де для формули трапеції .
Далі, за формулою трапеції,
\begin{equation} I_h = h \left( \frac{f(0)}{2} + \Sum_{k = 1}^{n - 1} f(k h) + \frac{f(n h)}{2} \right), \end{equation}
а також
\begin{equation} I_{h/2} = \frac{h}{2} \left( \frac{f(0)}{2} + \Sum_{k = 1}^{2 n - 1} f \left( \frac{k h}{2} \right) + \frac{f(n h)}{2} \right), \end{equation}
або
\begin{equation} I_{h/2} = \frac{h}{2} \left( \frac{f(0)}{2} + \Sum_{k = 1}^{n - 1} f \left( \frac{(2 k - 1) h}{2} \right) + \Sum_{k = 1}^{n - 1} f(k h) + \frac{f(n h)}{2} \right). \end{equation}
Підставляючи ці значення у формулу Річардсона, знаходимо
\begin{equation} \tilde I_{h/2} = \frac{h}{6} \left( f(0) + 4 \Sum_{k = 1}^{n - 1} f \left( \frac{(2 k - 1) h}{2} \right) + 2 \Sum_{k = 1}^{n - 1} f(k h) + f(n h) \right). \end{equation}