Задача
Методом Ейлера-Коші зробити крок, , .
Розв’язок
Нагадаємо, що метод Ейлера-Коші має вигляд
\begin{align} \bar y_{i + 1} &= y_n + h \cdot f(x_i, y_i), \newline y_{n + 1} &= y_n + \frac{h}{2} \left( f(x_i, y_i) + f(x_{i + 1}, \bar y_{i + 1}) \right), \end{align}
де початкові значення зрозуміло які, , .
Тобто маємо
\begin{equation} \begin{aligned} \bar y_1 &= y_0 + h \cdot f(x_0, y_0) = \newline &= 1 + 0.1 \cdot f(0, 1) = \newline &= 1 + 0.1 \cdot (0^2 + 1) = 1.1, \end{aligned} \end{equation}
і
\begin{equation} \begin{aligned} y_1 &= y_0 + \frac{h}{2} \left( f(x_0, y_0) + f(x_1, \bar y_1) \right) = \newline &= 1 + \frac{0.1}{2} ( f(0, 1) + f(0.1, 1.1) ) = \newline &= 1 + 0.05 ( (0^2 + 1) + (0.1^2 + 1.1) ) = \newline &= 1 + 0.05 ( 1 + 1.11 ) = 1.1055. \end{aligned} \end{equation}