Задача

За допомогою явного $m = 2$, $h = 0.1$ методу Адамса обчислити $u' = x^2 + u$, $u(0) = 1$ в т. $x = 0.2.$

1. $y_1$ — за розв. в ряд Тейлора;

2. за доп. однокрок. методу.

Розв’язок

Для методу Адамса з $m = 2$ необхідно знати значення у $2$ точках сітки, $y_0 = y(0)$ і $y_1 = y(h)$.

Якщо з $y_0$ все зрозуміло, для нього беруть $u_0 = u(0) = 1$, то $y_1$ треба шукати.

Наприклад через розвинення в ряд Тейлора: $y(1) = y(0) + h \cdot y'(0) + \ldots$

Тут $y(0) = 1$, $y'(0) = u'(0) = 0^2 + 1 = 1$, тому $y(1) = 1 + 0.1 \cdot 1 = 1.1$.

Далі пригадуємо що явний метод Адамса з $m = 2$ має вигляд

\begin{equation} \frac{y_n - y_{n - 1}}{h} = \frac{3}{2} \cdot f_{n - 1} - \frac{1}{2} \cdot f_{n - 2}, \end{equation}

У нас $n = 2$, підставляючи маємо:

\begin{equation} \frac{y_2 - 1.1}{0.1} = \frac{3}{2} \cdot f_1 - \frac{1}{2} \cdot f_0. \end{equation}

Тут $f_0 = 0^2 + y_0 = 1$, $f_1 = h^2 + y_1 = 1.11$, тому

\begin{equation} \frac{y_2 - 1.1}{0.1} = \frac{3}{2} \cdot 1.11 - \frac{1}{2} \cdot 1, \end{equation}

звідки $y_2 = 1.2165$.

Якщо шукати $y_1$ за допомогою однокрокового методу, то потрібно узгодити точність.

Так, якщо застосовуємо методи типу Рунге-Кутти, то треба брати $m = 2$, наприклад модифікований метод Ейлера, тоді

\begin{equation} y_1 = y_0 + h \cdot f \left( t_{1/2}, y_0 + \frac{h \cdot f_0}{2} \right). \end{equation}

У нашому випадку маємо

\begin{equation} y_1 = 1 + 0.1 \cdot f \left( 0.05, 1 + \frac{0.1 \cdot 1}{2} \right), \end{equation}

або

\begin{equation} y_1 = 1 + 0.1 \cdot \left( 0.05^2 + 1 + 0.05 \right) = 1.10525, \end{equation}

і відовідним чином змінилися б обчислення (але не алгоритм!) у методі Адамса.

Назад до задач

Назад на головну