• 6. Інтерполювання функцій
  • 6.1. Постановка задачі інтерполювання
  • 6.2. Інтерполяційна формула Лагранжа
  • 6.3. Залишковий член інтерполяційного полінома
  • 6.4. Багаточлени Чебишова. Мінімізація залишкового члена інтерполяційного полінома
  • 6.5. Розділені різниці
  • 6.6. Інтерполяційна формула Ньютона

6. Інтерполювання функцій

6.1. Постановка задачі інтерполювання

Література:

• СГ, стор. 151–155

Нехай функція $f(x) \in C([a,b])$ задана своїми значеннями $y_i = f(x_i)$, $x_i \in [a,b]$, $i = \overline{0,n}$, причому $x_i \ne x_j$ для $i \ne j$.

Означення: Функція $\Phi(x)$ називається інтерполюючою для $f(x)$ на сітці $\{x_i\}^n_{i = 0}$, якщо $\Phi(x_i) = y_i$, $i = \overline{0,n}$.

Задача інтерполювання функції має не єдиний розв’язок.

Означення: Виберемо систему лінійно незалежних функцій $\{\varphi_k(x)\}^n_{k = 0}$, $\varphi_k(x) \in C([a,b])$ і побудуємо лінійну комбінацію

\begin{equation} \label{eq:6.1.1} \Phi(x) = \Phi_n(x) = \Sum_{k = 0}^n c_k \cdot \varphi_k(x), \end{equation}

яка називається узагальненим багаточленом.

Умови інтерполювання дають СЛАР

\begin{equation} \label{eq:6.1.2} \Sum_{k = 0}^n c_k \cdot \varphi_k(x_i) = y_i, \quad i = \overline{1, n} \end{equation}

розв’язком якої є $\vec c = (c_0, \ldots, c_n)$.

Якщо

\begin{equation} D(x_0, \ldots, x_n) = \begin{vmatrix} \varphi_0(x_0) & \cdots & \varphi_n(x_0) \newline \vdots & \ddots & \vdots \newline \varphi_0(x_n) & \cdots & \varphi_n(x_n) \end{vmatrix} \ne 0, \end{equation}

то система \eqref{eq:6.1.2} має єдиний розв’язок.

Означення: Система функцій $\{\varphi_k (x)\}^n_{k = 0}$ називається системою Чебишова, якщо $\forall \{x_i\}^n_{i = 0}$ таких, що $x_i \in [a,b]$ і $x_i \ne x_j$ при $i \ne j$ виконується $D(x_0, \ldots, x_n)\ne 0$.

Приклади систем Чебишова:

1. $\varphi_k(x) = x^k$ — алгебраїчна система.

   Визначник $D(x_0, \ldots, x_n) \ne 0$ є визначником Вандермонда:

   \begin{equation} \begin{aligned} D(x_0, \ldots, x_n) &= \begin{vmatrix} 1 & x_0 & \cdots & x_0^n \newline \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline 1 & x_n & \cdots & x_n^n \end{vmatrix} = \newline &= \Prod_{0 \le k \le m \le n} (x_k - x_m) \ne 0,
   \end{aligned} \end{equation}

2. $\varphi_k (x) = L_k(x)$ — ортогональні багаточлени Лежандра;

3. $\varphi_k(x) = T_k(x)$ — ортогональні багаточлени Чебишова.

4. $\varphi_k(x)$: $1$, $\cos(x)$, $\sin(x)$, $\ldots$, $\cos(nx)$, $\sin(nx)$.

   Тоді

   \begin{equation} \begin{aligned} \Phi_n(x) &= T_n(x) = \newline &= a_0 + \Sum_{k = 1}^n (a_k \cdot \cos(k x) + b_k \cdot \sin(k x)) \end{aligned} \end{equation}

   — тригонометричний багаточлен.

6.2. Інтерполяційна формула Лагранжа

Література:

• СГ, стор. 127–129;

• БЖК, стор. 38–42.

Якщо $\varphi_k(x) = x^k$, то

\begin{equation} \Phi_n(x) = P_n(x) = \Sum_{k=0}^n c_k \cdot x^k. \end{equation}

Задача інтерполювання функції $f(x)$ алгебраїчним, багаточленом полягає в знаходженні коефіцієнтів $c_k$, $k = \overline{0,n}$ для яких виконується умова $f(x_i) = \varphi(x_i)$, $i = \overline{0, n}$.

Представимо інтерполяційний багаточлен у вигляді

\begin{equation} \label{eq:6.2.1} P_n(x) = L_n(x) = \Sum_{k = 0}^n f(x_k) \cdot \Phi_k^{(n)}(x). \end{equation}

Означення: Тут $L_n(x)$ — інтерполяційний поліном; $\Phi_k^{(n)}(x)$ — поліноми $n$-го степеня, які називають множниками Лагранжа.

З умови $L_n(x_i) = f(x_i)$ випливає, що множник Лагранжа повинен задовольняти умови

\begin{equation} \label{eq:6.2.2} \Phi_k^{(n)} (x_i) = \delta_{i,k}. \end{equation}

Оскільки $\Phi_k^{(n)}(x)$ — багаточлен степеня $n$, то він має вигляд

\begin{equation} \Phi_k^{(n)}(x) = A_k (x - x_0) \ldots (x - x_{k-1}) (x - x_{k+1}) \ldots (x - x_n), \end{equation}

де $A_k$ — число.

Знайдемо його з умови $\Phi_k^{(n)}(x_k) = 1$:

\begin{equation} A_k = \frac{1}{(x_k - x_0) \ldots (x_k - x_{k-1}) (x_k - x_{k + 1}) \ldots (x_k - x_n)}. \end{equation}

Таким чином багаточлен $\Phi_k^{(n)}(x)$ мають вигляд:

\begin{equation} \label{eq:6.2.3} \Phi_k^{(n)} (x) = \frac{(x - x_0) \ldots (x - x_{k-1}) (x - x_{k+1}) \ldots (x - x_n)}{(x_k - x_0) \ldots (x_k - x_{k-1}) (x_k - x_{k+1}) \ldots (x_k - x_n)} \end{equation}

Позначивши

\begin{equation} \omega_n(x) = \Prod_{i = 0}^n(x - x_i), \end{equation}

маємо

\begin{equation} \Phi_k^{(n)}(x) = \frac{\omega_n(x)}{(x - x_k) \cdot \omega_n’(x_k)}. \end{equation}

Остаточно формула Лагранжа має вигляд

\begin{equation} \label{eq:6.2.4} L_n(x) = \Sum_{k = 0}^n f(x_k) \cdot \frac{\omega_n(x)}{(x - x_k) \cdot \omega_n’(x_k)} \end{equation}

6.3. Залишковий член інтерполяційного полінома

Література:

• СГ, стор. 132–133;

• БЖК, стор. 42.

В заданих точках (точки інтерполювання) значення функції та полінома співпадають, але в інших точках в загальному випадку не співпадають. Отже доцільно розглянути питання про похибку інтерполювання.

Означення: Замінюючи функцію $f(x)$ на $L_n(x)$ ми допускаємо похибку $r_n(x) = f(x) - L_n(x)$. Це залишковий член інтерполювання.

З означення випливає, що, $r_n(x_i) = 0$, $x_i \in [a,b]$. Оцінимо похибку у кожній точці $x \in [a,b]$. Введемо допоміжну функцію:

\begin{equation} g(t) = f(t) - L_n(t) - K \cdot \omega_n(t), \end{equation}

де $t \in [a,b]$, і $g(x_i) = 0$ для $i = \overline{0,n}$.

Знайдемо таке $K$, щоб $g(x) = 0$, в деякій точці $x \in [a,b]$, $x \ne x_i$, $i = \overline{0,n}$. Легко бачити, що

\begin{equation} K = \frac{f(x) - L_n(x)}{\omega_n(x)}. \end{equation}

Припустимо що $f(x) \in C^{(n+1)}([a,b])$, тоді $g(t) \in C^{(n+1)}([a,b])$. Функція $g(t) = 0$ в $(n + 2)$-х точках, а саме $t = x$, $t = x_i$, $i = \overline{0,n}$. З теореми Ролля випливає, що існує $(n+1)$-а точка, де $g'(t_i)=0$, $i = \overline{0,n}$. Продовжуючи цей процес, отримаємо, що існує хоча б одна $\xi \in [a,b]$ така, що $g^{(n+1)} (\xi) = 0$. Оскільки

\begin{equation} g^{(n+1)}(t) = f^{(n+1)} - 0 - K \cdot (n+1)!, \end{equation}

то $\exists \xi$, що

\begin{equation} g^{(n+1)}(\xi) = f^{(n+1)}(\xi) - (n+1)! \cdot \frac{f(x) - L_n(x)}{\omega_n(x)} = 0. \end{equation}

Звідси

\begin{equation} \label{eq:6.3.1} r_n(x) = f(x) - L_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n + 1)!} \cdot \omega_n(x). \end{equation}

Оскільки $\xi$ невідомо, то використовують оцінку залишкового члена:

\begin{equation} \label{eq:6.3.2} |r_n(x)| = |f(x) - L_n(x)| \le \frac{M_{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot |\omega_n(x)|, \end{equation}

де $M_{n + 1} = \Sup_{x \in [a,b]} \vert f^{(n+1)}(x) \vert$.

6.4. Багаточлени Чебишова. Мінімізація залишкового члена інтерполяційного полінома

Література:

• СГ, стор. 103–108;

• БЖК стор. 56–63.

Як вибрати вузли інтерполяції щоб похибка інтерполювання була мінімальною? Спочатку обґрунтуємо теоретичний апарат, завдяки якому будемо досліджувати це питання.

Означення: Багаточленом Чебишова ($n$-того степеня, 1–го роду) називається поліном, який задається такими рекурентними співвідношеннями

\begin{equation} \label{eq:6.4.1} T_{n + 1}(x) - 2 x \cdot T_n(x) + T_{n - 1}(x) = 0, \end{equation}

де початкові значення

\begin{equation} \label{eq:6.4.2} T_0(x) = 1, \quad T_1(x) = x. \end{equation}

Знайдемо явний вигляд багаточлена Чебишова. Будемо шукати розв’язок рівняння \eqref{eq:6.4.1} у вигляді $T_n(x) = q^n$, де $q = q(x)$. Підставивши в \eqref{eq:6.4.1}, отримуємо характеристичне рівняння $q^2 - 2 x q + 1 = 0$. Тоді при $\vert x \vert \ge 1 \implies q_{1,2} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$, а при $\vert x \vert < 1 \implies q_{1,2} = \cos(\varphi) \pm i \sin(\varphi)$, $\varphi = \arccos(x)$.

Розглянемо обидва випадки детальніше:

1. при $\vert x \vert \le 1$: $T_n(x) = A \cdot \cos(n \varphi) + B \cdot \sin (n \varphi)$. З \eqref{eq:6.4.1} випливає $A = 1$, $B = 0$ і тому

   \begin{equation} \label{eq:6.4.3} T_n(x) = \cos(n \arccos (x)). \end{equation}

2. при $\vert x \vert > 1$:

   \begin{equation} \label{eq:6.4.4} T_n(x) = \frac{1}{2} \left( \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)^n + \left(x - \sqrt{x^2 - 1} \right)^n \right). \end{equation}

Знайдемо нулі та екстремуми багаточлена Чебишова: $T_n(x) = 0$, $x \in [-1,1]$, $\cos(n \arccos(x)) = 0$, $\arccos(x) = \frac{2 k + 1}{2 n} \pi$, $k = \overline{0,n-1}$.

Отже нулі багаточлена Чебишова:

\begin{equation} x_k = \cos \left( \frac{(2 k + 1) \pi}{2 n} \right) \in [-1,1], \quad k = \overline{0,n-1}. \end{equation}

Локальні екстремуми багаточлена Чебишова на $x \in [-1,1]$:

\begin{equation} x_k’ = \cos \left( \frac{k\pi}{2n} \right), \quad k = \overline{0,n}. \end{equation}

Коефіцієнт при старшому члені багаточлена дорівнює $2^{n-1}$.

Означення: Введемо нормований багаточлен Чебишова $\overline T_n(x) = 2^{1-n} T_n(x) = x^n + \ldots$.

Тоді

\begin{equation} \left| \overline T_n \right|\void_{C([-1,1])} = \Max_{x \in [-1,1]} |T_n(x)| = 2^{1-n}. \end{equation}

Означення: Відхиленням двох функцій $f(x)$ та $\Phi(x)$ називається величина

\begin{equation} \Delta (f, \Phi) = | f(x) - \Phi(x)|\void_{C([a,b])}. \end{equation}

Теорема (Чебишова): Серед усіх багаточленів $n$-го степеня з коефіцієнтом $1$ при старшому степені $\overline T_n(x)$ найменше відхиляється від $0$ на $[-1,1]$, тобто

\begin{equation} \left|\overline T_n(x) - 0 \right|\void_{C([-1,1])} = \Inf_{\overline P_n(x)} \left|\overline P_n(x)\right|\void_{C([-1,1])} = 2^{1-n}. \end{equation}

Доведення: Будемо доводити від супротивного: припустимо, що існує багаточлен, такий, що

\begin{equation} \overline Q_n(x) < 2^{1-n}. \end{equation}

Тоді $Q_{n-1}(x) = \overline T_n(x) - \overline Q_n(x)$ — поліном степеня не вище $n - 1$ і не рівний тотожньо нулю. Дослідимо його знаки:

\begin{equation} \begin{aligned} \text{sgn} \left( Q_{n - 1}(x_k’) \right) &= \text{sgn} \left( \overline T_n(x_k’) - \overline Q_n(x_k’) \right) = \newline &= \text{sgn} \left( \overline T_n(x_k’) \right) = \alpha \cdot(-1)^k, \end{aligned} \end{equation}

де $\alpha = \pm 1$.

Значить $\exists z_k$, $k = \overline{0,n-1}$ таке, що $Q_{n-1}(z_k)=0$. Це протиріччя, бо $Q_{n-1}(x)$ — поліном степеня $\le n - 1$. $\square$

Тепер узагальнимо наш багаточлен Чебишова на довільний проміжок. Нагадаємо $T_n(t) = \cos(n \arccos t)$, $-1 \le t \le 1$. Від змінної $t \in [-1, 1]$ перейдемо до $x \in [a,b]$. Запровадимо заміну

\begin{equation} t = \frac{2 x}{b - a} - \frac{b + a}{b - a}, \quad x = \frac{b + a}{2} + \frac{b - a}{t}. \end{equation}

Тоді

\begin{equation} \begin{aligned} T_n^{[a,b]}(t) &= \overline T_n \left( \frac{2 x}{b - a} - \frac{b + a}{b - a} \right) = \newline &= 2^{1 - n} \cos \left(n \arccos \left( \frac{2 x - (b + a)}{b - a} \right) \right). \end{aligned} \end{equation}

Побудований нами багаточлен Чебишова на $[a,b]$ не є нормованим.

Нормований багаточлен Чебишова на $[a,b]$:

\begin{equation} \overline T_n^{[a,b]}(x) = \frac{(b - a)^n}{2^{2 n - 1}} \cos \left(n \arccos \left( \frac{2 x - (b + a)}{b - a} \right) \right). \end{equation}

Відповідно його нулі

\begin{equation} x_k = \frac{a + b}{2} - \frac{b - a}{2} \cdot t_k, \quad t_k = \cos \left( \frac{(2 k + 1) \pi}{2 n} \right), \end{equation}

де $k = \overline{0,n-1}$, а точки екстремуму

\begin{equation} x_k’ = \frac{a + b}{2} - \frac{b -a }{2} \cdot t_k’, \quad t_k’ = \cos \left( \frac{k \pi}{n} \right), \quad k = \overline{0,n}. \end{equation}

Теорема Чебишова вірна і у випадку $[a,b]$. Тепер

\begin{equation} \left|\overline T_n^{[a,b]}\right|\void_{C([a,b])} = \frac{(b-a)^n}{2^{2n-1}}. \end{equation}

Перейдемо до питання мінімізації залишкового члена. Нагадаємо, що

\begin{equation} \label{eq:6.4.5} |r_n(x)| = |f(x) - L_n(x)| \le \frac{M_{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot |\omega_n(x)|, \end{equation}

де $M_{n + 1} = \Max_{x \in [a,b]} \left\vert f^{(n+1)}(x) \right\vert$, $\omega_n(x) = \Prod_{i = 0}^n (x - x_i) = x^{n+1} + \ldots$

Поставимо задачу

\begin{equation} \Inf_{\overline P_n(x)} \Max_{x \in [a,b]} |\omega_n(x)|. \end{equation}

З теоремою Чебишова $\omega_n(x) = \overline T_{n+1}^{[a,b]}(x)$ поліном Чебишова. Якщо співпадають поліноми, то співпадають їх нулі. Отже: $x_k$ — вузли інтерполяції співпадають з нулями багаточлена Чебишова

\begin{equation} x_k = \frac{a + b}{2} - \frac{b - a}{2} \cdot t_k, \quad t_k = \cos \left( \frac{(2 k + 1) \pi}{2 (n + 1)} \right), \end{equation}

де $k = \overline{0,n}$.

В цьому випадку

\begin{equation} \label{eq:6.4.6} |r_n(x)| = |f(x) - L_n(x)| \le \frac{M_{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{(b - a)^{n + 1}}{2^{2 n + 1}}. \end{equation}

Цю оцінку не можна покращити! Так для $f(x) = \overline P_{n + 1}(x) = x^{n + 1} + \ldots$ її $(n + 1)$ похідна дорівнює $(n + 1)!$, тому $M_{n + 1} = (n + 1)!$. Різниця $f(x) - L_n(x) = \overline T_{n + 1}^{[a,b]}(x)$, отже

\begin{equation} \Max_{x \in [a,b]} |f(x) - L_n(x)| = \frac{(b - a)^{n + 1}}{2^{2 n + 1}}. \end{equation}

6.5. Розділені різниці

Література:

• БЖК, стор. 42–44;

• СГ, стор. 129–130.

Розділені різниці є аналогом похідної для функції, що задана таблицею.

Означення: Розділеною різницею 1-го порядку для функції $f(x)$ називатимемо

\begin{equation} f(x_i; x_j) = \frac{f(x_i) - f(x_j)}{x_i - x_j}. \end{equation}

Розділеною різницею 2-го порядку для функції $f(x)$ називатимемо

\begin{equation} f(x_i; x_j; x_k) = \frac{f(x_i; x_j) - f(x_j; x_k)}{x_i - x_k}. \end{equation}

Аналогічно визначаються розділені різниці довільного порядку.

Наведемо деякі властивості розділених різниць:

1. \begin{equation} f(x_0; \ldots; x_n) = \Sum_{i = 0}^n \frac{f(x_j)}{\Prod_{i \ne j}(x_i - x_j)}. \end{equation}

2. Розділена різниця — лінійний функційонал:

   \begin{equation} (\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2)(x_0; x_1) = \alpha_1 f_1(x_0;x_1) + \alpha_2 f_2(x_0;x_1). \end{equation}

3. Розділена різниця — симетричний функціонал:

   \begin{equation} \begin{aligned} & f(x_1; \ldots; x_i; \ldots; x_j; \ldots; x_n) = \newline & \quad f(x_1; \ldots; x_j; \ldots; x_i; \ldots; x_n). \end{aligned} \end{equation}

4. $\forall f(x) \in C^{(n)}([a,b])$: $\exists \xi \in [a,b]$: $f(x_0; x_1; \ldots; x_n) = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$.

Задача 14: Довести першу властивість розділених різниць.

Таблиця розділених різниць має вигляд:

$x_i$	$f_i$	р.р.$1$	р.р.$2$	$\ldots$	р.р.$n$
$x_0$	$f(x_0)$
		$f(x_0;x_1)$
$x_1$	$f(x_1)$		$f(x_0;x_1;x_2)$
		$f(x_1;x_2)$
$x_2$	$f(x_2)$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$f(x_0;\ldots;x_n)$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$x_{n-2}$	$f(x_{n-2})$
		$f(x_{n-2};x_{n-1})$
$x_{n-1}$	$f(x_{n-1})$		$f(x_{n-2};x_{n-1};x_n)$
		$f(x_{n-1};x_n)$
$x_n$	$f(x_n)$

6.6. Інтерполяційна формула Ньютона

Література:

• БЖК, стор. 44–47;

• СГ, стор. 130–132.

Запишемо формулу Лагранжа інтерполяційного багаточлена

\begin{equation} \label{eq:6.6.1} L_n(x) = \Sum_{i = 0}^n f(x_i) \cdot \frac{\omega_n(x)}{(x - x_i) \cdot \omega_n’(x_i)}, \end{equation}

де $\omega_n(x) = \Prod_{j=0}^n (x-x_j)$.

Позначимо $\Phi_j(x) = L_j(x) - L_{j-1}(x)$. Тоді, оскільки

\begin{equation} \begin{aligned} L_n(x) &= L_0(x) + (L_1(x) - L_0(x)) + \ldots \newline & \quad \ldots + (L_n(x) - L_{n-1}(x)), \end{aligned} \end{equation}

і

\begin{equation} L_j(x_i) = L_{j-1}(x_i) = f(x_i), \quad i = \overline{0,j-1}, \end{equation}

то \begin{equation} \label{eq:6.6.2} \Phi_j(x_i) = A_j \cdot (x - x_0) \cdot \ldots \cdot (x - x_{j-1}), \end{equation}

де $A_j$ визначається з умови $\Phi_j(x_j) = L_j(x_j) - L_{j-1}(x_j) = f(x_j) - L_{j-1}(x_j)$. Звідси

\begin{equation} \Phi_j(x) = \frac{f(x_j) - L_{j-1}(x_j)}{(x_j - x_0) \ldots (x_j - x_{j - 1})} \cdot (x-x_0) \ldots (x-x_j). \end{equation}

Тоді \begin{equation} \begin{aligned} A_j &= \frac{f(x_j) - L_{j-1}(x_j)}{(x_j - x_0) \ldots (x_j - x_{j-1})} = \newline & = \frac{f(x_j)}{(x_j - x_0) \ldots (x_j - x_{j-1})} - \newline & \quad - \Sum_{i = 0}^{j - 1} \frac{f(x_i)}{(x_i - x_0) \ldots (x_i - x_{i-1}) (x_i - x_{i + 1}) \ldots (x_j-x_i)} = \newline & = \frac{f(x_j)}{(x_j-x_0) \ldots (x_j - x_{j-1})} + \newline & \quad + \Sum_{i = 0}^{j - 1} \frac{f(x_i)}{(x_i-x_0) \ldots (x_i - x_j)} = \newline & = \Sum_{i = 0}^j \frac{f(x_i)}{(x_i - x_0) \ldots (x_i - x_{i - 1}) (x_i - x_{i + 1}) \ldots (x_i - x_j)} = \newline & = f(x_0;\ldots;x_j). \end{aligned} \end{equation}

Звідси маємо інтерполяційну формулу Ньютона вперед ($x_0 \to x_n$):

\begin{equation} \label{eq:6.6.3} \begin{aligned} L_n(x) &= f(x_0) + f(x_0;x_1) (x-x_0) + \ldots \newline & \quad \ldots + f(x_0;\ldots;x_n) (x-x_0) \ldots (x - x_{n-1}). \end{aligned} \end{equation}

Аналогічно, інтерполяційна формула Ньютона назад ($x_n\to x_0$): \begin{equation} \label{eq:6.18} \begin{aligned} L_n(x) &= f(x_n) + f(x_n;x_{n-1}) (x-x_n) + \ldots \newline & \quad \ldots + f(x_n;\ldots;x_0) (x-x_n) \ldots (x-x_1). \end{aligned} \end{equation}

Маємо рекурсію за степенем багаточлена

\begin{equation} L_n(x) = L_{n-1}(x) + f(x_0;\ldots;x_n) (x-x_0) \ldots (x-x_1). \end{equation}

Звідси

\begin{equation} \begin{aligned} L_n(x) &= f(x_0) + (x - x_0) (f(x_0;x_1) + (x - x_1) (\ldots \newline & \quad \ldots + (x - x_{n-1}) f(x_0;x_1;\ldots;x_n) \ldots )) \end{aligned} \end{equation}

і цю формулу розкриваємо починаючи з середини (це аналог схеми Горнера обчислення значення багаточлена).

Введемо нову формулу для похибки інтерполювання. Для $x \ne x_i$, $i = \overline{0,n}$ розглянемо розділену різницю

\begin{equation} \begin{aligned} f(x; x_0; \ldots; x_n) &= \frac{f(x)}{(x - x_0) \ldots (x - x_n)} + \newline & \quad + \Sum_{k = 0}^n \frac{f(x_k)}{\Prod_{i \ne k}(x - x_i)}. \end{aligned} \end{equation}

Звідси

\begin{equation} \begin{aligned} f(x) &= f(x_0) \cdot \frac{(x - x_1) \ldots (x - x_n)}{(x_0 - x_1) \ldots (x_0 - x_n)} + \ldots \newline & \quad \ldots + f(x_n) \cdot \frac{(x - x_1) \ldots (x - x_n)}{(x_n - x_1) \ldots (x_n - x_{n-1})} + \newline & \quad + f(x; x_0; \ldots; x_n) (x - x_0) \ldots (x - x_n) = \newline & = L_n(x) + f(x; x_0; \ldots; x_n) \cdot \omega_n(x). \end{aligned} \end{equation}

Тоді похибка має вигляд \begin{equation} \label{eq:6.19} r_n(x) = f(x) - L_n(x) = f(x;x_0;\ldots;x_n)\cdot\omega_n(x). \end{equation}

Це нова форма для залишкового члена.

Порівнюючи з формулою залишкового члена в пункті $6.3$, маємо

\begin{equation} f(x; x_0; \ldots; x_n) = \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}, \end{equation}

що доводить останню властивість розділених різниць.

Нехай маємо сітку рівновіддалених вузлів: $x_i = a + i h$, $h = \frac{b-a}{n}$, $i = \overline{0, n}$, $x_0 = a$, $x_n = b$. Розначимо $\Delta f_0 = f_1 - f_0$, $\Delta^2f_0 = \Delta f_1 - \Delta f_0 = f_2 - 2 f_1 + f_0$, $\ldots$ — скінченні різниці.

Запишемо формули Ньютона у нових позначеннях:

\begin{equation} \begin{aligned} L_n(x) &= L_n(x_0 + t h) = \newline &= f_0 + t \Delta f_0 + \ldots \newline & \quad \ldots + \frac{t (t - 1) \ldots (t - n + 1)}{n!}\cdot \Delta^n f_0, \end{aligned} \end{equation}

де $t = \frac{x-x_0}{h}$.

Це інтерполяційна формула Ньютона вперед по рівновіддалених вузлах.

Задача 15: Побудувати інтерполяційну формулу Ньютона назад по рівновіддалених вузлах.

Назад до лекцій

Назад на головну