Контрольні запитання до леції №30

71. Крайова задача для еліптичного рівняння з параметром, теорема існування розв’язку.

Спектральна задача $L u = \nabla \cdot (\rho(x) \nabla u) + a u = \lambda u$, $u\vert_S = 0$ (на власні значення) має зліченну кількість власних чисел і функцій.

Кожне власне число є дійсним і від’ємним за винятком перших декількох.

Точка накопичення власних чисел — нескінченно віддалена точка $-\infty$.

Власні функції утворюють базис в $W_2^1(\Omega)$ і в $L_2(\Omega)$, який є ортогональним в $L_2(\Omega)$, та ортонормованим в $W_2^1(\Omega)$.

72. Теорема про розкладання функцій класу $W_2^1 (\Omega)$ по системі узагальнених власних функцій еліптичного оператора.

Теорема: Будь-яка функція з $W_2^1(\Omega)$ і $L_2(\Omega)$ розкладається в ряд Фур’є за власними функціями $\{u_k\}_{k=1}^\infty$:

\begin{equation} F = \Sum_{k} \frac{\langle F, u_k\rangle_{W_2^1(\Omega)}}{\langle u_k, u_k\rangle_{W_2^1(\Omega)}} \cdot u_k = \Sum_{k} \frac{\langle F, u_k\rangle_{L_2(\Omega)}}{\langle u_k, u_k\rangle_{L_2(\Omega)}} \cdot u_k. \end{equation}

73. Поняття слідів функцій класу $W_2^1 (\Omega)$.

1. $u \in C^\infty(\Omega)$. Тоді $u\vert_\Omega \to u\vert_S$ відповідає досить гладка, неперервна на досить гладкій поверхні (Ліпшиць непер.) функція $u\vert_S \in L_2(S)$.

2. $u\notin C^\infty(\Omega)$. Тоді $u$ є границею фундаментальноъ послідовності $u_k \to u$, $u_k \in C^\infty(\Omega)$. І аналогічно $u_k\vert_\Omegs \to u_k\vert_S$ та $u\vert_S = \Lim_{k\to\infty} u_k\vert_S$ у розумінні норми, тобто

   \begin{equation} \Lim_{k,p\to\infty} \left| u_k\vert_S - u_p\vert_S \right|_{L_2(\Omega)} = 0. \end{equation}

74. Теорема про існування узагальненого розв’язку другої та третьої крайової задачі для еліптичного рівняння.

Друга і третя граничні задачі $L u = \nabla \cdot (p(x) \nabla u) + a(x) u = \lamba u + f(x)$, $x \in \Omega$, $\left. \frac{\partial u}{\partial n} + \sigma(x) u \right\vert_{x \in s} = 0$ мають єдиний розв’язок в $W_2^1(\Omega)$ для будь-якого вільного члена $f \in L_2(\Omega)$ та для усіх дійсних значень параметру $\lambda$ окрім не більш ніж зліченої множини дійсних значень $\{\lambda_k\}_{k=1}^\infty$, які називаються спектром граничної задачі.

Кожне спектральне значення має скінчену кратність, усі власні числа від’ємні за винятком декількох перших і єдиною точкою накопичення власних чисел є $-\infty$.

При умові, коли параметр $\lambda = \lambda_k$ розв’язок граничної задачі існує тоді і лише тоді, коли вільний член $f$ ортогональний усім розв’язкам однорідної задачі при $\lambda = \lambda_k$, тобто

\begin{equation} \Int_\Omega f(x) v_{k,j} (x) \diff x = 0, \quad j = \overline{0, q_k - 1} \end{equation}

де $q_k$ — кратність власного числа $\lambda_k$. В цьому випадку розв’язок неєдиний і визначається з точність до лінійної оболонки $\Sum_{j = 0}^{q_k - 1} c_j v_{k, j}$.