Контрольні запитання до леції №29

67. Нерівність Пуанкаре-Фрідріхса, теорема Релліха.

Нерівність Пуанкаре-Фрідріхса: $\forall u \in \overset{\circ}{W}_2^1(\Omega)$, де $\Omega \subseteq \RR^n$, $\text{dim} \Omega \ne \infty$:

\begin{equation} \Int_\Omega u^2(x) \diff x \le C_\Omega^2 \Int_\Omega \Sum_{i = 1}^n u_{x_i}^2 \diff x, \end{equation}

або $\|u\|_{L_2(\Omega)}^2 \le C_\Omega^2 \|u_x\|_{L_2(\Omega)}^2$, тобто норма

\begin{equation} |u_x|{L_2(\Omega)}^2 = \Int\Omega \Sum_{i = 1}^n u_{x_i}^2 \diff x. \end{equation}

Теорема (Релліха): довільна обмежена множина елементів простору $W_2^1(\Omega)$ є компакт в просторі $L_2(\Omega)$.

68. Еквівалентність норм у просторі $W_2^1(\Omega)$ (норма введена через квадратичну форму).

Теорема (про еквівалентність норм у просторі $W_2^1(\Omega)$): Якщо матриця $P(x)$ додатньо визначена, тобто для кожного комплексного вектора $\xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n)$ і для усіх $x \in \overline\Omega$:

\begin{equation} \Sum_{i,j=1}^n p_{i,j} \xi_i \overline{\xi_j} \ge \gamma \cdot |\xi|^2 \end{equation}

з якоюсь сталою постійною $\gamma$, функція $a(x) \ge 0$, $x \in \overline{\Omega}$, $\sigma(x) \ge 0$, $x \in S$, та або $a(x) \not\equiv 0$, або $\sigma(x)\not\equiv 0$, то білінійна форма

\begin{equation} W (f, g) = \Int_\Omega \left( \Sum_{i,j=1}^n p_{i,j} \cdot f_{x_i} \cdot \overline{g_{x_j}} + a(x) \cdot f \cdot \ovelrine{g} \right) \diff x + \Int_S (\sigma(x) \cdot f \cdot \ovelrine{g}) \diff S \end{equation}

визначає в $W_2^1(\Omega)$ скалярний добуток еквівалентний скалярному добутку

\begin{equation} \langle f, g \rangle_{W_2^1(\Omega)} = \Int_\Omega \left( \langle \nabla f, \nabla \overline{g} \rangle + f \cdot \overline{g} \right) \diff x. \end{equation}

Це фактично означає, що існують такі константи $C_1, C_2$, що має місце нерівність

\begin{equation} C_2^2 |f|{W_2^1(\Omega)}^2 \le W(f, f) \le C_1^2 |f|{W_2^1(\Omega)}^2. \end{equation}

Таким чином, ця теорема дозволяє ввести норму у просторі $W_2^1(\Omega)$: $\|f\|_\star^2 = W(f, f)$ еквівалентну звичайній нормі в цьому просторі.

69. Узагальнений розв’язок задачі Діріхле для еліптичного рівняння, теорема єдиничності узагальненого розв’язку задачі Діріхле.

Розглядається задача Діріхле

\begin{equation} \nabla \cdot (p(x) \nabla u + a(x) u = f(x) + \Sum_{i = 1}^n \frac{\partial f_i(x)}{\partial x_i} \end{equation}

при обмеженнях $u\vert_S = 0$, $a_1 \le a(x) \le a_2$, $0 < \nu \le p(x) \le \mu$.

Узагальненим розв’язком задачі Діріхле в $\overset{\circ}{W}_2^1(\Omega)$ називається $u$ який $\ofrall \eta \in \overset{\circ}{W}_2^1(\Omega)$$ задовольняє інтегральній тотожності

\begin{equation} L(u, \xi) = \Int_\Omega \left( p(x) \Sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i} \cdot \frac{\partial \eta}{\partial x_i} - a(x) \cdot u(x) \cdot \eta(x) \right) \diff x = \Int_\Omega \left( -\eta(x) f(x) + \Sum_{i=1}^n f_i(x) \cdot \frac{\partial \eta}{\partial x_i} \right) \diff x. \end{equation}

Теорема: Задача Діріхле наведена вище може мати в $\overset{\circ}{W}_2^1(\Omega)$ не більше ніж 1 узагальненого розв’язку при умові що $\delta_1 = \nu - C_\Omega^2 a_2$.

70. Теорема існування узагальненого розв’язку задачі Діріхле для еліптичного рівняння.

Теорема: Якщо задача Діріхле

\begin{equation} \nabla \cdot (p(x) \nabla u + a(x) u = f(x) + \Sum_{i = 1}^n \frac{\partial f_i(x)}{\partial x_i} \end{equation}

при обмеженнях $u\vert_S = 0$, $a_1 \le a(x) \le a_2$, $\nu \le p(x) \le \mu$ має не більше одного узагальненого розвязку з простору $\overset{\circ}{W}_2^1(\Omega)$, то вона дійсно має розв’язок з цього простору, $\forall f, \overline{f} \in L_2(\Omega)$.