Контрольні запитання до леції №28

60. Лінійні неперервні функціонали, теорема Ріса-Фішера, слабка збіжність у гільбертовому просторі.

Нехай $M$ і $N$ — лінійні (замкнені відносно лінійної комбінації) множини. Оператор $L$, що перетворює елементи множини $M$ в елементи множини $N$, називається лінійним, якщо для будь-яких елементів $f$ і $g$ із $M$ і комплексних чисел $\lambda$, $\mu$ справедлива рівність

\begin{equation} L(\lambda f + \mu g) = \lambda L f + \mu L g. \end{equation}

Частинним випадком лінійних операторів є лінійні функціонали. Якщо лінійний оператор $\ell$ перетворює множину елементів $М$ в множину комплексних чисел $\ell f$, $f \in M$, то $\ell$ є лінійним функціоналом на множині $M$.

Значення функціонала $\ell$ на елементі $f$ — комплексне число $\ell f$ — будемо позначати через $\langle\ell, f\rangle$. Таким чином, неперервність лінійного функціоналу $\ell$ значає: якщо:

\begin{equation} M \ni f_k \xrightarrow[k \to \infty]{} 0, \end{equation}

то послідовність комплексних чисел

\begin{equation} \langle \ell, f_k \rangle \xrightarrow[k \to \infty]{} 0. \end{equation}

Послідовність $\ell_1, \ell_2, \ldots$ лінійних функціоналів на $M$ слабко збігається до функціоналу $\ell$ на $M$, якщо вона збіжна до $\ell$ на кожному елементі $f$ із $M$, тобто:

\begin{equation} \langle \ell_k, f\rangle \xrightarrow[k \to \infty]{} \langle \ell, f\rangle. \end{equation}

Теорема (Фішера-Рісса): Якщо $f \in H^\star$, то існує єдиний елемент $y(f) \in H$, такий що $f(x) = \langle x, y\rangle$ для довільного $x \in H$, та $\|f\|_H^\star = \|y\|_H$, де $H^\star$ — гільбертовий простір.

61. Цілком неперервні оператори, зв’язок між скінчено вимірними та цілком неперервними операторами, теорема про представлення цілком неперервного оператора.

Означення: Будемо називати лінійний оператор $A$ цілком неперервним з гільбертового простору $H$ у гільбертов простір $H$, якщо він переводить будь-яку обмежену множину елементів в $H$ у компактну множину елементів.

Означення: Оператор $A$, який діє у гільбертовому просторі називається скінченно-вимірним ($n$-вимірним), якщо він відображає гільбертов простір $H$ у його ($n$-вимірний) підпростір.

Теорема (про представлення цілком неперервного оператора): Для того щоб заданий на сепарабільному гільбертовому просторі $H$ лінійний обмежений оператор $A$ із $H$ в $H$ був цілком неперервним необхідно і достатньо щоб для довільного $\varepsilon > 0$ існувало ціле число $n(\varepsilon)$ і такі лінійні оператори $A_1$ та $A_2$, де $A_1$ — $n$-вимірний, а $\|A_2\| \le \varepsilon$, що $A_1 + A_2 = A$.

62. Перша теорема Фредгольма для операторного рівняння із цілком неперервним оператором.

Теорема: Якщо однорідне рівняння $u - \lambda A u = 0$ має лише тривіальний розв’язок, то неоднорідне рівняння $u - \lambda A u = f$ має єдиний розв’язок $\forall f \in H$. Тут оператор $A$ — цілком неперервний, тобто він довільну обмежену множину переводить у компактну.

63. Друга теорема Фредгольма для операторного рівняння із цілком неперервним оператором.

Теорема: Однорідне рівняння $u - \lambda A u = 0$ і спряжене до нього $u - \overline{\lambda} A^\star u = 0$ може мати нетривіальні розв’язки не більш ніж на зліченій множині значень параметру $\lambda$, які можна пронумерувати у порядку зростання їх модулів. Ці значення називаються характеристичними числами, а відповідні розв’язки — власними функціями. Кожне власне (характеристичне) число має скінченну кратність.

64. Третя теорема Фредгольма для операторного рівняння із цілком неперервним оператором.

Теорема: Рівняння $u - \lambda A u = f$ при $\lambda = \lambda_k$ ($\lambda_k$ — деяке характеристичне число) має розв’язок тоді і тільки тоді, коли вільний член $f$ ортогональний до всіх розв’язків спряженого однорідного рівняння $u - \overline{\lambda} A^\star u = 0$. У цьому випадку розв’язок не єдиний і представляється у вигляді

\begin{equation} u = u_0 + \Sum_{j = 1}^{q_k} c_j u_{k, j}, \end{equation}

де $u_0$ — деякий розв’язок неоднорідного рівняння $u_0 - \lambda_k A u_0 = f$, а $u_{k, j}$ — власні функції, що відповідають $\lambda_k$, $k_q$ — їх кратність.

65. Спосіб введення простору $W_2^k (\Omega)$, збіжність в просторі $W_2^k (\Omega)$.

Гільбертовий простір $W_2^k(\Omega) = C^\infty (\Omega) \cup \{u\}_{W_2^k(\Omega)}^{\text{фунд.}}$ зі скалярним добутком

\begin{equation} \langle u, v \rangle_{W_2^k(\Omega)} = \Sum_{|\alpha| \le k} \Int_\Omega D^\alpha u(x) D^\alpha v(x), \end{equation}

де $\{u\}_{W_2^k(\Omega)}^{\text{фунд.}}$ — границі усіх фундаментальних за нормою $W_2^k(\Omega)$ послідовностей, $D^\alpha u(x)$ — оператор диференціювання.

66. Спосіб визначення похідних у просторі $W_2^k (\Omega)$.

Візьмемо довільний елемент $u \in C^\infty(\Omega)$, $D^\alpha u \in C^\infty (\Omega)$,

\begin{equation} \exists {u_n}: u_n \xrightarrow[n \to \infty]{W_2^k(\Omega)} u, \end{equation}

причому $\forall n$: $u_n \in C^\infty(\Omega)$, тому існують границі похідних

\begin{equation} D^\alpha u_n \xrightarrow[n \to \infty]{L_2(\Omega)} v^{(\alpha)}, \end{equation}

Поставимо у відповідність $u$ елемент $v^{(\alpha)}$,який претендує на звання узагальненої похідної. $v^{(\alpha)}$ задовольняє

\begin{equation} \Int_\Omega D^\alpha u_n(x) v(x) \diff x = (-1)^{|\alpha|} \Int_\Omega u_n D^\alpha v(x) \diff x. \end{equation}

Перейдемо до границі:

\begin{equation} \Int_\Omega v^{(\alpha)} v(x) \diff x = (-1)^{|\alpha|} \Int_\Omega u(x) D^\alpha v(x) \diff x. \end{equation}

Отже, можемо сказати, що $D^\alpha \approx v^{(\alpha)}$. Таким чином ми ввели поняття узагальненої похідної.