Контрольні запитання до першого розділу

1. Записати інтегральне рівняння Фредгольма першого та другого роду.

2. Дати визначення характеристичних чисел і власних функцій інтегрального рівняння.

3. Що називається союзним інтегральним рівнянням, спряженим ядром?

4. Сформулювати лему про обмеженість інтегрального оператора з неперервним ядром.

5. Записати схему методу послідовних наближень, ряд Неймана.

6. Сформулювати теорему про збіжність методу послідовних наближень для неперервних ядер.

7. Дати визначення повторних ядер і резольвенти, записати умова збіжності резольвенти.

8. Дати визначення полярного ядра, сформулювати лему про поводження повторних ядер для полярного ядра.

9. Сформулювати лему про обмеженість інтегрального оператора з полярним ядром.

10. Сформулювати теорему про збіжність методу послідовних наближень для інтегральних рівнянь із полярним ядром.

11. Записати резольвенту інтегрального оператора з полярним ядром, сформулювати умови її збіжності.

12. Дати визначення виродженого ядра, записати систему рівнянь для інтегрального рівняння. з виродженим ядром.

13. Сформулювати першу теорему Фредгольма для інтегрального рівняння з виродженим ядром.

14. Сформулювати другу теорему Фредгольма для інтегрального рівняння з виродженим ядром.

15. Сформулювати третю теорему Фредгольма для інтегрального рівняння з виродженим ядром.

16. В чому полягає ідея доведення теорем Фредгольма для неперервного ядра.

17. Сформулювати першу теорему Фредгольма для інтегрального рівняння з неперервним ядром.

18. Сформулювати другу теорему Фредгольма для інтегрального рівняння з неперервним ядром.

19. Сформулювати третю теорему Фредгольма для інтегрального рівняння з неперервним ядром.

20. Сформулювати четверту теорему Фредгольма для інтегрального рівняння з неперервним ядром.

21. В чому полягає ідея доведення теорем Фредгольма для полярного ядра.

22. Сформулювати наслідку з теорем Фредгольма.

23. Дати визначення компактної множини в рівномірній метриці. Сформулювати теорему Арцела-Асколі.

24. Дати визначення цілком неперервного оператора, сформулювати лему про цілковиту неперервність оператора з неперервним ядром.

25. Дати визначення ермітового оператора, властивість характеристичних чисел, критерій ермітовості.

26. Ряд Фур’є, нерівність Бесселя, рівність Парсеваля-Стеклова.

27. Визначення джерелуватозображуваної функції. Теорема Гільберта-Шмідта.

28. Представлення виродженого ядра через характеристичні числа та власні функції.

29. Теорема про білінійне розкладання ермітового неперервного ядра.

30. Наслідок з теореми Гільберта-Шмідта про розкладання повторного ядра для ермітового ядра.

31. Формула Шмідта, особливості її застосування для різних значень параметра.

32. Теорема про існування характеристичних чисел ермітового неперервного та ермітового полярного ядра.

33. Додатньо визначені ядра. Лема про властивості характеристичних чисел додатньо визначених ядер.

34. Теорема Мерсера.

35. Постановка задачі Штурма-Ліувілля, визначення власних чисел і власних функцій.

36. Визначення функції Гріна для оператора Штурма-Ліувілля.

37. Властивості функції Гріна.

38. Властивості власних функцій і власних значень задачі Штурма-Ліувілля.

39. Лема про зведення задачі Штурму-Ліувілля до інтегрального рівняння.

40. Задача Штурма-Ліувілля з ваговим множником, зведення її до інтегрального рівняння з ермітовим ядром.

41. Теорема Стеклова про розкладання функцій у ряд Фур’є.

42. Ядра Шмідта та їх властивості, білінійне розвинення ядер Шмідта.

43. Інтегральні рівняння Фредгольма першого роду з ермітовим ядром, теорема існування розв’язку.

44. Інтегральні рівняння Фредгольма першого роду з несиметричним ядром, умови існування розв’язку.