Заняття 24–25: Варіаційне числення

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

Знайти екстремалі таких функціоналів:

1. $I[y(x)] = \Int_{-1}^0 (12 x y - (y')^2) \diff x$, $y(-1) = 1$, $y(0) = 0$.

2. $I[y(x)] = \Int_{-1}^1 ((y')^2 - 2 x y) \diff x$, $y(-1) = -1$, $y(1) = 1$.

3. $I[y(x)] = \Int_0^1 (y^2 + 2 (y')^2 + (y'')^2) \diff x$, $y(0) = 0$, $y(1) = 0$, $y'(0) = 1$, $y'(1) = - \sinh (1)$.

4. $I[y(x)] = \Int_0^1 (y + y'') \diff x$, $y(0) = y_0$, $y(1) = y_1$, $y'(0) = y_0'$, $y'(1) = y_1'$.

5. $I[y(x)] = \Int_0^1 ((y')^2 + (y'')^2) \diff x$, $y(0) = 0$, $y(1) = \sinh (1)$, $y'(0) = 1$, $y'(1) = \cosh (1)$.

6. $I[y(x), z(x)] = \Int_0^{\pi / 4} (2 z - 4 y^2 + (y')^2 - (z')^2) \diff x$, $y(0) = 0$, $y(\pi / 4) = 1$, $z(0) = 0$, $z(\pi / 4) = 1$.

7. $I[y(x), z(x)] = \Int_0^{\pi / 2} ((y')^2 + (z')^2 - 2 y z) \diff x$, $y(0) = 0$, $y(\pi / 2) = 1$, $z(0) = 0$, $z(\pi / 2) = 1$.

   Дослідити на екстремум функціонали:

8. $I[y(x)] = \Int_0^1 ((y')^3 + y') \diff x$, $y(0) = 0$, $y(1) = 2$.

9. $I[y(x), z(x)] = \Int_0^1 ((y')^2 + (z')^2) \diff x$, $y(0) = 0$, $y(1) = 1$, $z(0) = 0$, $z(1) = 2$.

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

Знайти екстремалі таких функціоналів:

1. $I[y(x)] = \Int_0^1 \sqrt{y \cdot (1 + (y')^2)} \diff x$, $y(0) = y(1) = 1 / \sqrt{2}$.

2. $I[y(x)] = \Int_{-1}^1 ((y')^2 - 2 x y) \diff x$, $y(-1) = -1$, $y(1) = 1$.

3. $I[y(x)] = \Int_{-1}^0 (240 y - (y''')^2) \diff x$, $y(-1) = 1$, $y(0) = 0$, $y'(-1) = -4.5$, $y'(0) = 0$, $y''(-1) = 16$, $y''(0) = 0$.

4. $I[y(x)] = \Int_a^b ((y')^2 + y \cdot y'') \diff x$, $y(a) = A_1$, $y(b) = B_1$, $y'(a) = A_2$, $y'(b) = B_2$.

5. $I[y(x)] = \frac{1}{2} \Int_0^1 (y'')^2 \diff x$, $y(0) = 0$, $y(1) = 1$, $y'(0) = 0$, $y'(1) = 1$.

6. $I[y(x), z(x)] = \Int_{-1}^1 ( 2 x y - (y')^2 + (z')^3 / 3 ) \diff x$, $y(1) = 0$, $y(-1) = 2$, $z(1) = 1$, $z(-1) = -1$.

7. $I[y(x), z(x)] = \Int_0^1 ((y')^2 + (z')^2 + 2 y) \diff x$, $y(0) = 1$, $y(1) = 3 / 2$, $z(0) = 0$, $z(1) = 1$.

   Дослідити на екстремум функціонали:

8. $I[y(x)] = \Int_0^1 (y + 2 x + (y')^2 / 2) \diff x$, $y(0) = y'(0) = 0$.

9. $I[y(x), z(x)] = \Int_0^1 ((y')^2 + (z')^2 + 4 z) \diff x$, $y(0) = 0$, $y(1) = 1$, $z(0) = 0$, $z(1) = 0$.

Назад до збірника

Назад на головну