Заняття 19–20: Системи в симетричній формі. Розв’язування лінійних рівнянь першого порядку з частинними похідними. Метод характеристик. Задача Коші

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

1. $\dfrac{\diff x}{2 y - z} = \dfrac{\diff y}{y} = \dfrac{\diff z}{z}$.

2. $\dfrac{\diff x}{z} = \dfrac{\diff y}{x z} = \dfrac{\diff z}{y}$.

3. $y \cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} - x \cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0$.

4. $x \cdot \dfrac{\partial u}{\partial x} + y \cdot \dfrac{\partial u}{\partial y} + z \cdot \dfrac{\partial u}{\partial z} = 0$.

5. $y \cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} + x \cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} = x - y$.

6. $(z - y)^2 \cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} + x z \cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} = x y$.

   Знайти розв’язки рівняння, яке задовольняє вказаним умовам:

7. $x \cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} - y \cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0$, $z = 2 x$ при $y = 1$.

   Знайти поверхню, яка задовольняє даному рівнянню і проходить через задану лінію:

8. $y^2 \cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} + x y \cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} = x$, $z = y^2$ при $x = 0$.

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

1. $\dfrac{\diff x}{y} = \dfrac{\diff y}{x} = \dfrac{\diff z}{z}$.

2. $\dfrac{\diff x}{z^2 - y^2} = \dfrac{\diff y}{z} = \dfrac{\diff z}{y}$.

3. $(x + 2 y) \cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} - y \cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0$.

4. $(x - z) \cdot \dfrac{\partial u}{\partial x} + (y - z) \cdot \dfrac{\partial u}{\partial y} + 2 z \cdot \dfrac{\partial u}{\partial z} = 0$.

5. $e^x \cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} + y^2 \cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} = y \cdot e^x$.

6. $x y \cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} + (x - 2 z) \cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} = y z$.

   Знайти розв’язки рівняння, яке задовольняє вказаним умовам:

7. $\dfrac{\partial z}{\partial x} - (2 e^x - y) \cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0$, $z = y$ при $x = 0$.

   Знайти поверхню, яка задовольняє даному рівнянню і проходить через задану лінію:

8. $x \cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} - 2 y \cdot \dfrac{\partial z}{\partial y} = x^2 + y^2$, $z = x^2$ при $y = 1$.

Назад до збірника

Назад на головну