Заняття 12: Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків зі змінними коефіцієнтами. Рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

Рекомендовані приклади для аудиторної роботи

1. Функції $x$, $x^2$, $x^3$ задовольняють деяке однорідне лінійне диференціальне рівняння. Переконатися, що вони утворюють фундаментальну систему, та скласти згадане рівняння.

   Розв’язати лінійні рівняння зі змінними коефіцієнтами:

2. $(1 + x^2) \cdot y'' - 2 x \cdot y' + 2 y = 0$, $y_1(x) = x$.

3. $y'' - (x^2 + 1) \cdot y = 0$, $y_1(x) = e^{x^2 / 2}$.

4. $x \cdot y'' + 2 y' + x y = 0$, $y_1(x) = \sin (x) / x$ ($x \ne 0$).

   Скласти лінійне однорідне диференціальне рівняння (найменшого можливого порядку), яке має такі частинні розв’язки:

5. $y_1(x) = 1$, $y_2(x) = \cos (x)$.

6. $y_1(x) = x \cdot e^{-x}$, $y_2(x) = e^{-x}$.

   Розв’язати рівняння:

7. $y''' - 3 y'' / x + 6 y' / x^2 - 6 y / x^3 = \sqrt{x}$.

8. $x^3 \cdot y''' + x \cdot y' - y = 0$.

9. $x^2 \cdot y'' - x \cdot y' - 3 y = 0$.

10. $x^2 \cdot y'' + x \cdot y' + y = 0$.

11. $(2 x + 3)^2 \cdot y'' + (2 x + 3) \cdot y' - y = 0$.

12. $x^2 \cdot y'' + x \cdot y' + 4 y = 10 x$.

Рекомендовані приклади для домашнього завдання

1. Побудувати диференціальне рівняння, що має таку фундаментальну систему функції: $1$ та $\cos (2x)$.

   Розв’язати лінійні рівняння зі змінними коефіцієнтами:

2. $(1 - x) \cdot y'' + x \cdot y' - y = 0$, $y_1(x) = e^x$.

3. $(1 + x^2) \cdot y'' + x \cdot y' - y = 0$, $y_1(x) = \sqrt{1 + x^2}$.

4. $y'' - x \cdot y' + 2 y = 0$, $y_1(x) = x^2 - 1$.

5. $x^2 \cdot y'' + 2 x \cdot y' - 6 y = 0$.

6. $x^2 \cdot y''' - 2 y' = 0$.

7. $(x + 1)^3 \cdot y''' - 3 (x + 1)^2 \cdot y'' + 4 (x + 1) \cdot y' - 4 y = 0$.

8. $x^3 \cdot y''' - x \cdot y' - 3 y = 0$.

9. $x^2 \cdot y'' - x \cdot y' - 3 y = 5 x^4$.

10. $x^2 \cdot y'' - 4 x \cdot y' + 6 y = 0$.

11. $x^2 \cdot y'' - x \cdot y' + y = 8 x^3$.

12. $x^2 \cdot y'' - 3 x \cdot y' + 5 y = 3 x^2$.

Назад до збірника

Назад на головну