Список запитань на залік
Частина 1
-
Загальні визначення понять диференціальних рівнянь першого порядку. Поняття розв’язку, загального розв’язку, інтегралу диференціального рівняння першого порядку. Геометрична інтерпретація розв’язків.
-
Рівняння з відокремлювальними змінними. Однорідні рівняння.
-
Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернулі та Ріккаті.
-
Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.
-
Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної. Параметризація, загальна параметризація. Рівняння Лагранжа та Клеро.
-
Метод стислих відображень. Теорема про метод стислих відображень.
-
Теорема про існування та єдиність розв’язку задачі Коші диференціального рівняння першого порядку, що розв’язане відносно похідної.
-
Теорема про неперервну залежність розв’язків диференціальних рівнянь від параметрів. Теорема про неперервну залежність від початкових значень. Теорема про диференційованість розв’язків.
-
Теорема про існування та єдиність розв’язку задачі Коші диференціального рівняння, не розв’язаного відносно похідної. Особливі розв’язки.
-
Диференціальні рівняння вищих порядків. Загальні поняття. Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються у квадратурах.
-
Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають пониження порядку.
-
Лінійні диференціальні рівняння вищих порядкв. Загальні поняття. Властивості лінійних однорідних рівнянь. Властивості розв’язків лінійних однорідних рівнянь.
-
Лінійна залежність та незалежність функцій. Теорема про необхідні умови незалежності функцій. Теорема про достатні умови незалежності розв’язків лінійних однорідних диференціальних рівнянь. Теорема про необхідні та достатні умови лінійної незалежності розв’язків лінійних однорідних диференціальних рівнянь.
-
Теорема про загальний розв’язок лінійних однорідних диференціальних рівнянь.
-
Формула Остроградського. Формула Абеля.
-
Лінійні однорідні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами. Побудова загального розв’язку.
-
Лінійні неоднорідні рівняння. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.
-
Теорема про загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння.
-
Метод варіації довільної сталої знаходження частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння.
-
Метод Коші знаходження частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння.
-
Метод невизначених коефіцієнтів знаходження частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння.
-
Системи диференціальних рівнянь. Загальні визначення. Геометрична та механічна інтерпретація розв’язків.
-
Зведення одного рівняння вищого порядку до системи диференціальних рівнянь першого порядку та навпаки, системи рівнянь до одного диференціального рівняння вищого порядку.
-
Системи диференціальних рівнянь в симетричній формі. Інтегровані комбінації.
-
Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні визначення. Властивості розв’язків однорідних систем.
-
Лінійна залежність та незалежність розв’язків систем лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.
-
Теорема про загальний розв’язок систем лінійних однорідних диференціальних рівнянь.
-
Формула Якобі.
-
Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера.
-
Матричний метод розв’язку лінійних однорідних систем з сталими коефіцієнтами.
-
Лінійні неоднорідні системи. Властивості розв’язків систем лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.
-
Теорема про загальний розв’язок систем лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.
-
Метод варіації довільної сталої знаходження частинного розв’язку лінійних неоднорідних систем. Формула Коші.
-
Метод невизначених коефіцієнтів знаходження частинного розв’язку лінійних неоднорідних систем.