Список запитань на іспит
Частина 2
-
Лінійні однорідні диференціальні раівняння із змінними коефіцієнтами. Необхідні умови зведення до рівняння з сталими коефіцієнтами.
-
Лінійні рівняння Ейлера. Рівняння Ейлера-Лагранжа.
-
Рівняння Чебишева.
-
Зведення лінійного рівняння другого порядку до канонічного вигляду.
-
Рівняння Беселя з полуцілим індексом.
-
Самоспряжений вигляд лінійного рівняння другого порядку. Зведення рівняння Лежандра та рівняння Беселя до самоспряженого вигляду.
-
Зведення лінійного однорідного рівняння другого порядку до рівняння Ріккаті.
-
Інтегрування лінійних однорідних рівнянь другого порядку за допомогою звичайних степеневих рядів.
-
Інтегрування лінійних однорідних рівнянь другого порядку за допомогою узагальнених степеневих рядів.
-
Побудова розв’язку рівняння Беселя загального вигляду. Функції Беселя першого та другого роду.
-
Лінійні рівняння другого порядку та коливальні процеси. Вільні коливання.
-
Лінійні рівняння другого порядку та коливальні процеси. Вимушені коливання. Резонанс.
-
Коливальні та неколивальні розв’язки в рівняннях другого порядку з змінними коефіцієнтами. Теорема про неколивальність розв’язків диференціального рівняння другого порядку.
-
Теорема Штурма.
-
Терема порівняння. Порівняння з диференціальним рівнянням з сталими коефіцієнтами. Використання теореми порівняння при дослідженні рівняння Беселя.
-
Задача Штурма-Ліувіля на власні числа. Властивості власних чисел та власних функцій. Зліченість власних чисел задачі Штурма-Ліувіля. Ортогональність власних функцій.
-
Властивості власних чисел та власних функцій. Дійсність власних чисел задачі Штурма-Ліувіля. Додатність власних чисел.
-
Простота власних чисел задачі Штурма-Ліувіля. Обмеженість власних чисел. Зліченість власних чисел задачі Штурма-Ліувіля. Теорема Стеклова.
-
Крайові задачі. Зведення неоднорідної крайової задачі до крайової задачі з нульовими крайовими умовами.Єдиність розв’язку неоднорідної крайової задачі.
-
Функція Гріна. Представлення розв’язку крайової задачі за допомогою функції Гріна.
-
Метод побудови функції Гріна.
-
Теорема про представлення розв’язку однорідної крайової задачі за допомогою функції Гріна.
-
Основні поняття і теореми операційного числення.
-
Використання методів операційного числення для розв’язку лінійних рівнянь з сталими коефіцієнтами.
-
Використання методів операційного числення для розв’язку систем лінійних рівнянь з сталими коефіцієнтами.
Частина 3
-
Основні визначення теорії стійкості руху.
-
Точки спокою лінійних стаціонарних систем на площині. Вузол, сідло, фокус, центр.
-
Точки спокою лінійних стаціонарних систем на площині. Вироджені та дикритичні вузли, особі прямі.
-
Стійкість та обмеженість лінійних нестаціонарних систем.
-
Стійкість лінійних систем з сталими матрицями.
-
Необхідні умови стійкості лінійних стаціонарних систем. Критерії Гурвіца та Михайлова. Дослідження стійкості нульового розв’язку нелінійної системи за лінійним наближенням.
-
Другий метод Ляпунова. Основні визначення. Перша та друга теореми Ляпунова. Геометрична інтерпретація теорем Ляпунова та Четаєва.
-
Методи побудови функцій Ляпунова. Побудова функції Ляпунова для лінійних систем. Рівняння коливання маятника.
-
Лінійні однорідні диференціальні рівняння в частинних похідних першого порядку. Побудова загального розв’язку. Розв’язок задачі Коші.
-
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння в частинних похідних першого порядку. Побудова загального розв’язку. Розв’язок задачі Коші.
-
Основи визначення варіаційного числення. Теорема про необхідні умови екстремуму функціоналу загального вигляду.
-
Рівняння Ейлера.
-
Необхідні умови екстремуму функціоналів, що залежать від похідних вищих порядків.
-
Необхідні умови екстремуму функціоналів, що залежать від багатьох функцій.
-
Достатні умови екстремуму. Теореми про достатні умови сильного та слабого екстремуму.